Question

某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）；
（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
（4）商店要想月销售利润最大，销售单价应定为多少元？最大月销售利润是多少？

Answer

（1）根据“销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克”，可知：月销售量=500-（销售单价-50）×10．由此可得出售价为55元/千克时的月销售量，然后根据利润=每千克的利润×销售的数量来求出月销售利润；
（2）方法同（1）只不过将55元换成了x元，求的月销售利润变成了y；
（3）销售成本不超过10000元，即进货不超过10000÷40=250kg．根据利润表达式求出当利润是8000时的售价，从而计算销售量，与进货量比较得结论；
（4）由（2）的函数关系式后根据函数的性质即可得出函数的最值以及相应的自变量的值．
【解析】
（1）销售量：500-5×10=450（kg）；
销售利润：450×（55-40）=450×15=6750元；
（2）y=（x-40）[500-10（x-50）]=-10x2+1400x-40000；

（3）由于水产品不超过10000÷40=250kg，定价为x元，
则（x-40）[500-10（x-50）]=8000
解得：x1=80，x2=60，
当x1=80时，进货500-10×（80-50）=200kg＜250kg，符合题意，
当x2=60时，进货500-10×（60-50）=400kg＞250kg，舍去；
（4）由（2）的函数可知：y=-10（x-70）2+9000
因此：当x=70时，ymax=9000元，
即：当售价是70元时，利润最大为9000元．