Question

如图，三个等圆⊙O，⊙M，⊙N的圆心均在x轴上，其中⊙O分别与⊙N、⊙M外切，且⊙M，⊙N分别经过点A（-45，0），B（45，0）．点G是⊙N上的一个动点，线段AG与y轴、⊙O分别交于点H、E、F，已知点K的坐标是（0，45）．当△AKH的面积最小时，则⊙O的弦EF长为    ．

Answer

要使△AKH的面积最小，边KH上的高AO的值是45，只要KH最小即可，过A作AG切⊙N于G，此时KH最小，连接NG，OE，过O作OC⊥EF于C，求出AO、AN，证△ACO∽△AGN，得出比例式，求出OC，在△EOC中根据勾股定理求出EC，根据垂径定理得出EF=2CE，代入求出即可．
【解析】
∵要使△AKH的面积最小，边KH上的高AO的值是45，只要KH最小即可；
∴过A作AG切⊙N于G，此时KH最小，
连接NG，OE，过O作OC⊥EF于C，
则∠OCA=∠NGA=90°，
∵A（-45，0），B（45，0），三个等圆⊙O、⊙M、⊙N，
∴三个圆的半径是（45+45）÷3÷2=15，
即GN=15，AO=45，AN=90-15=75，
∵∠OCA=∠NGA=90°，
∠GAN=∠GAN，
∴△ACO∽△AGN，
∴=，
∴=，
∴OC=9，
在Rt△EOC中，由勾股定理得：EC===12，
∵OC⊥EF，OC过圆心O，
∴由垂径定理得：EF=2CE=24．
故答案为：24．