Question

如图，已知：等边三角形ABC的边长为6，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE=2．点F从点B开始以每秒1个单位长的速度沿射线BC方向运动，设点F运动的时间为t秒．当t＞0时，直线FD与过点A且平行于BC的直线相交于点G，GE的延长线与BC的延长线相交于点H，AB与GH相交于点O．
（1）用t的代数式表示AG；
（2）设△AGE的面积为S，写出S与t的函数关系式；
（3）当t为何值时，点F和点C是线段BH的三等分点？

Answer

（1）根据平行线AG∥BC截线段成比例证得△ADG∽△BDF，然后由相似三角形的对应边成比例知，从而求得AG=t；
（2）作辅助线EK⊥AG构造直角三角形AEK，然后在直角三角形中求EK的长度；
（3）需分类讨论：①当点F在线段BC上时，若点F、点C是线段BH的三等分点；②当点F在BC的延长线上时，若点F、点C是线段BH的三等分点．
【解析】
（1）∵AG∥BC，
∴△ADG∽△BDF，
∴，
又∵AD=2，DB=4，BF=t，
∴；
（2）作EK⊥AG，垂足为K，
∵∠CAK=∠ACB=60°，
∴，
；
（3）①当点F在线段BC上时，若点F、点C是线段BH的三等分点，
则BF=FC=CH，BC=6，BF=3，
即当t=3时，点F、点C是BH的三等分点；
②当点F在BC的延长线上时，若点F、点C是线段BH的三等分点，
则BC=CF=FH，CF=6，BF=12，
即当t=12时，点F、点C是BH的三等分点．