Question

已知二次函数y=x²+2mx-m+1（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该二次函数图象的顶点P都在函数y=-x²+x+1的图象上；
（2）若顶点P的横、纵坐标相等，求P点坐标．

Answer

（1）利用配方法将原式化为顶点式，找到二次函数的顶点表达式，此表达式对任意m值均成立，即可判定，不论m为何值，该二次函数图象的顶点P都在函数y=-x2+x+1的图象上；
（2）根据（1）中结论，令顶点横纵坐标相等即可得到关于m的方程，解出m的值即可．
（1）证明：y=x2+2mx-m+1=（x+m）2-m2-m+1．
则顶点P的坐标为 （-m，-m2-m+1）．
当x=-m时，y=-（-m）2+（-m）+1=-m2-m+1．
故不论m为何值，该二次函数图象的顶点P都在函数y=-x2+x+1的图象上．
（用顶点坐标公式求出顶点坐标参照给分）
（2）【解析】
根据题意得：-m=-m2-m+1．
解得：m=±1．
故点P的坐标为 （1，1）或 （-1，-1）．