Question

已知，点P（x，y）在第一象限，且x+y=12，点A（10，0）在x轴上，设△OPA的面积为S．
（1）求S关于x的关系式，并确定x的取值范围；
（2）当△OPA为直角三角形时，求P点的坐标．

Answer

（1）画出图形，表示出OA和PB的长，建立关于x的三角形面积的表达式，即为一次函数表达式；
（2）分情况讨论：①若O为直角顶点，则点P在y轴上，不合题意舍去； ②若A为直角顶点，则PA⊥x轴，所以点P的横坐标为10，代入y=-x+12中，得y=2，求出点P坐标为（10，2）；③若P为直角顶点，可得△OPB∽△PAB，根据相似三角形的性质求出P点横坐标，进而得到P点坐标．
【解析】
（1）由 x+y=12得，y=-x+12．
即P（x，y）在y=-x+12的函数图象上，且在第一象限，
过点P作PB⊥x轴，垂足为B．
则 S△OPA===-5x+60，且0＜x＜12；
（2）分情况讨论：
①若O为直角顶点，则点P在y轴上，不合题意舍去； 
②若A为直角顶点，则PA⊥x轴，所以点P的横坐标为10，代入y=-x+12中，得y=2，
所以点P坐标（10，2）；
③若P为直角顶点，可得△OPB∽△PAB．
∴．
∴PB2=OB•AB．
∴（-x+12）2=x（10-x）．
解得．
∴点P坐标（8，4）或（9，3）．
∴当△OPA为直角三角形时，点P的坐标为（10，2）或（8，4）或（9，3）．