Question

如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB上的一点，将△BCE沿CE折叠至△FCE，若CF，CE恰好与以正方形ABCD的中心为圆心的⊙O相切，则折痕CE的长为    ．

Answer

连接OC，由O为正方形的中心，得到∠DCO=∠BCO，又CF与CE为圆O的切线，根据切线长定理得到CO平分∠ECF，可得出∠DCF=∠BCE，由折叠可得∠BCE=∠FCE，再由正方形的内角为直角，可得出∠ECB为30°，在直角三角形BCE中，设BE=x，利用30°所对的直角边等于斜边的一半得到EC=2x，再由正方形的边长为4，得到BC为4，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可得到EC的长．
【解析】
连接OC，

∵O为正方形ABCD的中心，
∴∠DCO=∠BCO，
又∵CF与CE都为圆O的切线，
∴CO平分∠ECF，即∠FCO=∠ECO，
∴∠DCO-∠FCO=∠BCO-∠ECO，即∠DCF=∠BCE，
又∵△BCE沿着CE折叠至△FCE，
∴∠BCE=∠ECF，
∴∠BCE=∠ECF=∠DCF=∠BCD=30°，
在Rt△BCE中，设BE=x，则CE=2x，又BC=4，
根据勾股定理得：CE2=BC2+BE2，即4x2=x2+42，
解得：x=，
∴CE=2x=．
故答案为：