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如图,在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA...

如图,在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1,OC=4,抛物线y=x2+bx+c经过A,B两点,抛物线的顶点为D.
(1)求b,c的值;
(2)点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外),过点E作x轴的垂线交抛物线于点F,当线段EF的长度最大时,求点E的坐标;
(3)在(2)的条件下:
①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积;
②在抛物线上是否存在一点P,使△EFP是以EF为直角边的直角三角形?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,说明理由.

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(1)由∠ACB=90°,AC=BC,OA=1,OC=4,可得A(-1,0)B(4,5),然后利用待定系数法即可求得b,c的值; (2)由直线AB经过点A(-1,0),B(4,5),即可求得直线AB的解析式,又由二次函数y=x2-2x-3,设点E(t,t+1),则可得点F的坐标,则可求得EF的最大值,求得点E的坐标; (3)①顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD,可求出点F的坐标(,),点D的坐标为(1,-4)由S四边形EBFD=S△BEF+S△DEF即可求得; ②过点E作a⊥EF交抛物线于点P,设点P(m,m2-2m-3),可得m2-2m-3=,即可求得点P的坐标,又由过点F作b⊥EF交抛物线于P3,设P3(n,n2-2n-3),可得n2-2n-2=-,求得点P的坐标,则可得使△EFP是以EF为直角边的直角三角形的P的坐标. 【解析】 (1)由已知得:A(-1,0),B(4,5), ∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(-1,0),B(4,5), ∴, 解得:b=-2,c=-3; (2)如图:∵直线AB经过点A(-1,0),B(4,5), ∴直线AB的解析式为:y=x+1, ∵二次函数y=x2-2x-3, ∴设点E(t,t+1),则F(t,t2-2t-3), ∴EF=(t+1)-(t2-2t-3)=-(t-)2+, ∴当t=时,EF的最大值为, ∴点E的坐标为(,); (3)①如图:顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD. 可求出点F的坐标(,),点D的坐标为(1,-4) S四边形EBFD=S△BEF+S△DEF=××(4-)+××(-1)=; ②如图: ⅰ)过点E作a⊥EF交抛物线于点P,设点P(m,m2-2m-3) 则有:m2-2m-3=, 解得:m1=1+,m2=1-, ∴P1(1-,),P2(1+,), ⅱ)过点F作b⊥EF交抛物线于P3,设P3(n,n2-2n-3) 则有:n2-2n-3=-, 解得:n1=,n2=(与点F重合,舍去), ∴P3(,-), 综上所述:所有点P的坐标:P1(1+,),P2(1-,),P3(,-)能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形.
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考点分析:
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           型 号
金    额
投资金额x(万元)
Ⅰ型设备Ⅱ型设备
x5x24
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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