Question

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），G、F、H分别是BE、BC、CE的中点．
（1）试探索四边形EGFH的形状，并说明理由；
（2）当点E运动到什么位置时，四边形EGFH是菱形？并加以证明；
（3）若（2）中的菱形EGFH是正方形，请探索线段EF与线段BC的关系，并证明你的结论．

Answer

（1）由已知得GF∥EH，GF=EH．根据有一组边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形EGFH是平行四边形．
（2）根据等腰梯形的性质及已知利用SAS判定△AABE≌△DCE，从而得到BE=CE，根据G、H分别是BE、CE的中点，得到EG=EH，所以有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
（3）根据正方形的性质得到EG=EH，∠BEC=90°，由已知可得到EB=EC，因为F是BC的中点，所以EF⊥BC，EF=BC．
【解析】
（1）四边形EGFH是平行四边形．
理由是：∵G、F、H分别是BE、BC、CE的中点，
∴GF∥EH，GF=EH
∴四边形EGFH是平行四边形．

（2）当点E是AD的中点时，四边形EGFH是菱形．
证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB=DC，∠A=∠D，
在△ABE与△DCE中，
∵，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴BE=CE
∵G、H分别是BE、CE的中点，
∴EG=EH
又∵由（1）知四边形EGFH是平行四边形，
∴四边形EGFH是菱形．

（3）EF⊥BC，EF=BC
证明：∵四边形EGFH是正方形，
∴EG=EH，∠BEC=90°
∵G、H分别是BE、CE的中点，
∴根据中位线定理知道EB=EC，
∵F是BC的中点，E为AD的中点，
∴△BEC为等腰直角三角形，
∴EF⊥BC，EF=BC．