Question

如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB=13，CD=4，点E在边AB上，DE∥BC．
（1）若CE=CB，且tan∠B=3，求△ADE的面积；
（2）若∠DEC=∠A，求边BC的长度．

Answer

（1）分别过点C、D作CF⊥AB、DG⊥AB，交AB于点F、G，易证得四边形CDEB是平行四边形，则可求得AE的长，在Rt△BCF中，由三角函数的性质，即可求得△ADE的面积；
（2）易证得△CDE∽△DEA，由相似三角形的对应边成比例，易求得DE，则可求得边BC的长度．
【解析】
（1）分别过点C、D作CF⊥AB、DG⊥AB，交AB于点F、G．
∵AB∥CD，
∴DG=CF，
∵AB∥CD，DE∥BC，
∴四边形CDEB是平行四边形，
∴BE=CD．
∵AB=13，CD=4，
∴AE=AB-BE=13-4=9，
∵CE=CB，CF⊥BE，
∴BF=BE=×4=2，
在Rt△BCF中，由tan∠B=3，BF=2，
∴tan∠B==3，
即=3，CF=6，
∴DG=CF=6．
∴S△ADE=AE•DG=×9×6=27；

（2）∵AB∥CD，
∴∠CDE=∠DEA，
又∵∠DEC=∠A，
∴△CDE∽△DEA，
∴，
∵AE=9，CD=4，
∴．
∴DE2=36，DE=6（负值已舍）．
∵四边形CDEB是平行四边形，
∴BC=DE=6．