Question

已知⊙O₁、⊙O₂外切于点T，经过点T的任一直线分别与⊙O₁、⊙O₂交于点A、B，
（1）若⊙O₁、⊙O₂是等圆（如图1），求证：AT=BT；
（2）若⊙O₁、⊙O₂的半径分别为R、r（如图2），试写出线段AT、BT与R、r之间始终存在的数量关系（不需要证明）．

Answer

（1）连接O1O2，如图1所示，根据两圆外切时，两圆心连线过切点，得到O1O2过T点，由垂直得到一对直角相等，再由对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到△O1CT与△O2DT，由相似得比例，又两圆为等圆，半径相等可得出，可得出CT=DT，又O1C⊥AT，利用垂径定理得到CT等于AT的一半，同理DT等于BT的一半，等量代换可得出AT=BT，得证；
（2）线段AT、BT与R、r之间始终存在的数量关系是=，理由为：连接O1O2，如图2所示，根据两圆外切时，两圆心连线过切点，得到O1O2过T点，由垂直得到一对直角相等，再由对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到△O1CT与△O2DT，由相似得比例，将O1T=R，O2T=r代入，得到CT与DT的比值为R：r，又O1C⊥AT，利用垂径定理得到CT等于AT的一半，同理DT等于BT的一半，等量代换可得出AT与BT的比值为R：r．
证明：（1）连接O1O2，如图1所示，
∵⊙O1、⊙O2外切于点T，
∴点T在O1O2上，
过O1、O2分别作O1C⊥AT、O2D⊥BT，垂足为C、D，
∴∠O1CT=∠O2DT=90°，又∠O1TC=∠O2TD，
∴△O1CT∽△O2DT，
∴=，
∵⊙O1、⊙O2是等圆，
∴O1T=O2T，
∴==1，
∴CT=DT，
在⊙O1中，∵O1C⊥AB，
∴AC=CT=AT，
同理BD=DT=BT，
∴AT=BT，即AT=BT；

（2）线段AT、BT与R、r之间始终存在的数量关系是=，理由为：
证明：（1）连接O1O2，如图2所示，
∵⊙O1、⊙O2外切于点T，
∴点T在O1O2上，
过O1、O2分别作O1C⊥AT、O2D⊥BT，垂足为C、D，
∴∠O1CT=∠O2DT=90°，又∠O1TC=∠O2TD，
∴△O1CT∽△O2DT，
∴=，
∵O1T=R，O2T=r，
∴==，
在⊙O1中，∵O1C⊥AB，
∴AC=CT=AT，
同理BD=DT=BT，
∴===．