Question

如图，平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），线段AB垂直于y轴，垂足为B，将线段AB绕点A逆时针方向旋转90°，点B落在点C处，直线BC与x轴的交于点D．
（1）试求出点D的坐标；
（2）试求经过A、B、D三点的抛物线的表达式，并写出其顶点E的坐标；
（3）在（2）中所求抛物线的对称轴上找点F，使得以点A、E、F为顶点的三角形与△ACD相似．

Answer

（1）已知A点坐标，根据AB的长以及线段AB的旋转条件确定点C的坐标，利用待定系数法即可确定直线BC的解析式，进一步能求出点D的坐标．
（2）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，通过配方能得到顶点E的坐标．
（3）首先画出对应的图形，根据A、B、C、D四点坐标，能判断出∠ACD=135°，结合A、E的坐标，首先确定点F的大致位置，然后根据相似三角形的对应边成比例求出点F的坐标．
【解析】
（1）点C的坐标为（2，1）
设直线BC的表达式为y=mx+n（m≠0）．
易得，
解得 ，
所以直线BC的表达式为y=-x+3．
当y=0时，0=-x+3，x=3．
所以点D的坐标为（3，0）．

（2）设经过A、B、D三点的抛物线的表达式
为y=ax2+bx+c（a≠0）
易得  
解得 
因此，所求的抛物线的表达式为y=-x2+2x+3．
其顶点E坐标为 （1，4）．

（3）点F在y=-x2+2x+3的对称轴（即直线x=1）上，所以设点F的坐标为（1，m）．
由题意可得 AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ACB=45°，∠ACD=180°-∠ACB=135°．
所以若以A、E、F为顶点的三角形与△ACD相似，△AEF必有一个角的度数为135°，
由此可得点F必定在点E的上方，∠AEF=∠ACD=135°，EF=m-4
所以当=或=时，
以A、E、F为顶点的三角形与△ACD相似．
由点D（3，0）、C（2，1）、A（2，3）、E（1，4）
易得AC=3-1=2，CD=，AE=．
∴=或=．
解得 m=6或m=5．
故符合题意的点F有两个，其坐标为（1，5）或（1，6）．