Question

已知△ABC中，∠ACB=90°（如图），点P到∠ACB两边的距离相等，且PA=PB．
（1）先用尺规作出符合要求的点P（保留作图痕迹，不需要写作法），然后判断△ABP的形状，并说明理由；
（2）设PA=m，PC=n，试用m、n的代数式表示△ABC的周长和面积；
（3）设CP与AB交于点D，试探索当边AC、BC的长度变化时，的值是否发生变化，若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由．

Answer

（1）先根据角平分线及线段垂直平分线的作法作出P点，过点P分别作PE⊥AC、PF⊥CB，垂足为E、F，由全等三角形的判定定理得出Rt△APE≌Rt△BPF，再由全等三角形的性质即可判断出△ABP是等腰直角三角形；
（2）在Rt△PAB中，由∠APB=90°，PA=PB，PA=m，可得出AB=m，由Rt△APE≌Rt△BPF，△PCE≌△PCF，可得AE=BF，CE=CF，故CA+CB=CE+EA+CB=CE+CF=2CE，在Rt△PCE中，∠PEC=90°，∠PCE=45°，PC=n，可知CE=PE=n，即CA+CB=2CE=n，由△ABC的周长为=AB+BC+CA即可得出其周长，再根据S△ABC=S△PAC+S△PBC-S△PAB即可得出其面积；
（3）过点D分别作DM⊥AC、DN⊥BC，垂足为M、N，由角平分线的定义及锐角三角函数的定义可知DM=DN=CDsin45°=CD，由平行线分线段成比例定理可知=，=，再把两式相加即可得出结论．
【解析】
（1）依题意，点P既在∠ACB的平分线上，又在线段AB的垂直平分线上．
如图1，作∠ACB的平分线CP，作线段AB的垂直平分线PM，CP与PM的交点即为所求的P点．
△ABP是等腰直角三角形．
理由如下：过点P分别作PE⊥AC、PF⊥CB，垂足为E、F（如图2）．
∵PC平分∠ACB，PE⊥AC、PF⊥CB，垂足为E、F，
∴PE=PF．
在Rt△APE与Rt△BPF中，
∵，
∴Rt△APE≌Rt△BPF．
∴∠APE=∠BPF，
∵∠PEC=90°，∠PFC=90°，∠ECF=90°，
∴∠EPF=90°，
∴∠APB=90°．
又∵PA=PB，
∴△ABP是等腰直角三角形．

（2）如图2，∵在Rt△PAB中，∠APB=90°，PA=PB，PA=m，
∴AB=m，
由Rt△APE≌Rt△BPF，△PCE≌△PCF，可得AE=BF，CE=CF，
∴CA+CB=CE+EA+CB=CE+CF=2CE，
在Rt△PCE中，∠PEC=90°，∠PCE=45°，PC=n，
∴CE=PE=n，
∴CA+CB=2CE=n，
∴△ABC的周长为=AB+BC+CA=m+n．
∵S△ABC=S△PAC+S△PBC-S△PAB
=AC•PF+BC•PF-PA•PB
=（AC+BC）•PE-PA2
=×n×n-m2
=n2-m2（n＞m）．
[或 S△ABC=AC•BC=[（AC+BC）2-（AC2+BC2）]=（n2-m2）]

（3）不变．
【法1】过点D分别作DM⊥AC、DN⊥BC，垂足为M、N（图3）．
易得 DM=DN=CDsin45°=CD，
由DN∥AC得=①；
由DM∥BC得=②，
①+②，得+=，即+=1
∴（+）=1，即+=；
【法2】（前面同法1）又∵S△ABC=S△ACD+S△BCD，S△ABC=AC•BC
∴S△ACD=S△BCD=AC•DM+BC•DN=（AC+BC）•CD
∴（AC+BC）•CD=AC•BC
∴=，即+=；
【法3】过点D作DN⊥BC，垂足为N（图4）．
在Rt，CDN中，∠DCN=45°，DN=CN=CD，
由DN∥AC得=①；=②
①+②，得+=，即+=1
则（+）=1，即+=；
【法4】过点B作BG∥DC，交射线AC于点G（如图5）
易得∠G=∠ACD=∠BCD=∠CBG=45°，BG=BC=CG．
∵BG∥DC，
∴=，
∴=，=，
即+=；

【法5】过点A作CB的平行线，交射线CD于点K（见图6），
得CK=AC，DK=CK-CD=AC-CD，
又=，即=，
所以=-，即+=；
【法6】分别过点A、B分别作CD的平行线，交射线BC于点H，交射线AC于点G（见图7）．
得AH=AC，BG=BC，
又∵=，=
∴+=1，
即+=1，即+=；