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如图1,在△ABC中,AB=BC=5,AC=6.△ECD是△ABC沿BC方向平移...

如图1,在△ABC中,AB=BC=5,AC=6.△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的,连接AE.AC和BE相交于点O.
(1)判断四边形ABCE是怎样的四边形,说明理由;
(2)如图2,P是线段BC上一动点(图2),(不与点B、C重合),连接PO并延长交线段AB于点Q,QR⊥BD,垂足为点R.
①四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化?若变化,请说明理由;若不变,求出四边形PQED的面积;
②当线段BP的长为何值时,△PQR与△BOC相似.
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(1)四边形ABCE是菱形.由平移得到四边形ABCE是平行四边形,又AB=BC,可以推出四边形ABCE是菱形; (2)①四边形PQED的面积不发生变化.根据菱形的性质和已知条件可以求出菱形的面积,过A作AH⊥BD于H,再根据三角形的面积公式可以求出AH,由菱形的对称性知△PBO≌△QEO,所以BP=QE,现在可以得到S四边形PQED=S△BED,而S△BED的面积可以求出,所以四边形PQED的面积不发生变化. ②如图2,当点P在BC上运动,使△PQR与△COB相似时,∵∠2是△OBP的外角,∴∠2>∠3,∴∠2不与∠3对应,∴∠2与∠1对应,即∠2=∠1,∴OP=OC=3,过O作OG⊥BC于G,则G为PC的中点,△OGC∽△BOC,根据相似三角形的对应线段成比例可以求出CG,而PB=BC-PC=BC-2CG,根据这个等式就可以求出BP的长. 【解析】 (1)四边形ABCE是菱形.(1分) ∵△ECD是由△ABC沿BC平移得到的, ∴EC∥AB,且EC=AB, ∴四边形ABCE是平行四边形,(3分) 又∵AB=BC, ∴四边形ABCE是菱形;(4分) (2)①四边形PQED的面积不发生变化.(5分) 方法一:∵ABCE是菱形, ∴AC⊥BE,OC=AC=3, ∵BC=5, ∴BO=4, 过A作AH⊥BD于H,(如图1). ∵S△ABC=BC×AH=AC×BO, 即:×5×AH=×6×4, ∴AH=.(6分) 或∵∠AHC=∠BOC=90°,∠BCA公用, ∴△AHC∽△BOC, ∴AH:BO=AC:BC, 即:AH:4=6:5, ∴AH=.6分) 由菱形的对称性知,△PBO≌△QEO, ∴BP=QE, ∴S四边形PQED=(QE+PD)×QR=(BP+PD)×AH=BD×AH =×10×=24.(8分) 方法二:由菱形的对称性知,△PBO≌△QEO, ∴S△PBO=S△QEO,(6分) ∵△ECD是由△ABC平移得到的, ∴ED∥AC,ED=AC=6, 又∵BE⊥AC, ∴BE⊥ED,(7分) ∴S四边形PQED=S△QEO+S四边形POED=S△PBO+S四边形POED=S△BED =×BE×ED=×8×6=24.(8分) ②方法一:如图2,当点P在BC上运动,使△PQR与△COB相似时, ∵∠2是△OBP的外角, ∴∠2>∠3, ∴∠2不与∠3对应, ∴∠2与∠1对应, 即∠2=∠1, ∴OP=OC=3(9分) 过O作OG⊥BC于G,则G为PC的中点, ∴△OGC∽△BOC,(10分) ∴CG:CO=CO:BC, 即:CG:3=3:5, ∴CG=,(11分) ∴PB=BC-PC=BC-2CG=5-2×=.(12分) 方法二:如图3,当点P在BC上运动,使△PQR与△COB相似时, ∵∠2是△OBP的外角, ∴∠2>∠3, ∴∠2不与∠3对应, ∴∠2与∠1对应,(9分) ∴QR:BO=PR:OC,即::4=PR:3, ∴PR=,(10分) 过E作EF⊥BD于F,设PB=x,则RF=QE=PB=x, DF==,(11分) ∴BD=PB+PR+RF+DF=x++x+=10,x=.(12分) 方法三:如图4,若点P在BC上运动,使点R与C重合, 由菱形的对称性知,O为PQ的中点, ∴CO是Rt△PCQ斜边上的中线, ∴CO=PO,(9分) ∴∠OPC=∠OCP, 此时,Rt△PQR∽Rt△CBO,(10分) ∴PR:CO=PQ:BC, 即PR:3=6:5, ∴PR=(11分) ∴PB=BC-PR=5-=.(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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