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如图,已知抛物线P:y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点(点A在x...

如图,已知抛物线P:y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上),与y轴交于点C,矩形DEFG的一条边DE在线段AB上,顶点F、G分别在线段BC、AC上,抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下:
x-3-212
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(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)若点D的坐标为(m,0),矩形DEFG的面积为S,求S与m的函数关系,并指出m的取值范围;
(3)当矩形DEFG的面积S取最大值时,连接DF并延长至点M,使FM=k•DF,若点M不在抛物线P上,求k的取值范围.

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(1)根据图表可以得到,抛物线经过的四点的坐标,根据待定系数法,设y=ax2+bx+c把其中三点的坐标,就可以解得函数的解析式.进而就可以求出A、B、C的坐标. (2)易证△ADG∽△AOC,AD=2-m,根据相似三角形的对应边的比相等,就可以用m表示出DG的长,再根据△BEF∽△BOC,就可以表示出BE,就可以得到OE,因而ED就可以表示出来.因而S与m的函数关系就可以得到. (3)当矩形DEFG的面积S取最大值时,就是函数的值是最大值时,根据二次函数的性质就可以求出相应的m的值.则矩形的四个顶点的坐标就可以求出,根据待定系数法就可以求出直线DF的解析式.就可以求出直线DF与抛物线的交点的坐标,根据FM=k•DF,就可以表示出M的坐标,把M的坐标代入函数就可以得到一个关于k的方程,求出k的值,判断是否满足函数的解析式. 【解析】 (1)解法一:设y=ax2+bx+c(a≠0), 任取x,y的三组值代入,求出解析式y=x2+x-4, 令y=0,求出x1=-4,x2=2; 令x=0,得y=-4, ∴A、B、C三点的坐标分别是A(2,0),B(-4,0),C(0,-4). 解法二:由抛物线P过点(1,-),(-3,-)可知, 抛物线P的对称轴方程为x=-1, 又∵抛物线P过(2,0)、(-2,-4), ∴由抛物线的对称性可知, 点A、B、C的坐标分别为A(2,0),B(-4,0),C(0,-4). (2)由题意,=,而AO=2,OC=4,AD=2-m,故DG=4-2m, 又=,EF=DG,得BE=4-2m, ∴DE=3m, ∴SDEFG=DG•DE=(4-2m)3m=12m-6m2(0<m<2). (3)∵SDEFG=12m-6m2(0<m<2), ∴m=1时,矩形的面积最大,且最大面积是6. 当矩形面积最大时,其顶点为D(1,0),G(1,-2),F(-2,-2),E(-2,0), 设直线DF的解析式为y=kx+b,易知,k=,b=-, ∴y=x-, 又可求得抛物线P的解析式为:y=x2+x-4, 令x-=x2+x-4,可求出x=. 设射线DF与抛物线P相交于点N,则N的横坐标为,过N作x轴的垂线交x轴于H, 有===, 点M不在抛物线P上,即点M不与N重合时,此时k的取值范围是 k≠且k>0.
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考点分析:
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①四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化?若变化,请说明理由;若不变,求出四边形PQED的面积;
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______
(2)若要求调配后企业生产A种产品的年利润不少于调配前企业年利润的五分之四,生产B种产品的年利润大于调配前企业年利润的一半,应有哪几种调配方案?请设计出来,并指出其中哪种方案全年总利润最大(必要时运算过程可保留3个有效数字).
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产 品CDEFGH
所需资金(万元)200348240288240500
年 利 润(万元)508020604085
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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