Question

如图，P₁是反比例函数y=（k＞0）在第一象限图象上的一点，点A₁的坐标为（2，0）．
（1）当点P₁的横坐标逐渐增大时，△P₁OA₁的面积将如何变化？
（2）若△P₁OA₁与△P₂A₁A₂均为等边三角形，求此反比例函数的解析式及A₂点的坐标．

Answer

（1）设P1（a，b），根据反比例函数的图象性质，可知y随x的增大而减小．又△P1OA1的面积=×0A1×b=b．故当点P1的横坐标逐渐增大时，△P1OA1的面积将逐渐减小．
（2）由于△P1OA1为等边三角形，作P1C⊥OA1，垂足为C，由等边三角形的性质及勾股定理可求出点P1的坐标，根据点P1是反比例函数y=图象上的一点，利用待定系数法求出此反比例函数的解析式；作P2D⊥A1A2，垂足为D．设A1D=a，由于△P2A1A2为等边三角形，由等边三角形的性质及勾股定理，可用含a的代数式分别表示点P2的横、纵坐标，再代入反比例函数的解析式中，求出a的值，进而得出A2点的坐标．
【解析】
（1）过P1作P1C⊥OA1，垂足为C，
设P1（a，b），
∵P1在第一象限，
∴△P1OA1的面积=×0A1×b=b．
又∵当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小．
故当点P1的横坐标逐渐增大时，△P1OA1的面积将逐渐减小．

（2）因为△P1OA1为边长是2的等边三角形，
所以OC=1，P1C=2×=，
所以P1（1，）．
代入y=，得k=，
所以反比例函数的解析式为y=．
作P2D⊥A1A2，垂足为D．
设A1D=a，
则OD=2+a，P2D=a，
所以P2（2+a，a）．
∵P2（2+a，a）在反比例函数的图象上，
∴代入y=，得（2+a）•a=，
化简得a2+2a-1=0
解得：a=-1±．
∵a＞0，
∴a=-1+．∴A1A2=-2+2，
∴OA2=OA1+A1A2=2，
所以点A2的坐标为（2，0）．