Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为直线x=1，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（-1，0）、C（0，3）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若此抛物线的顶点为P，将△BOC绕着它的顶点B顺时针在第一象限内旋转，旋转的角度为α，旋转后的图形为△BO′C′．
①当O′C′∥CP时，求α的大小；
②△BOC在第一象限内旋转的过程中，当旋转后的△BO′C′有一边与BP重合时，求△BO′C′不在BP上的顶点的坐标．

Answer

（1）将A、C的坐标代入抛物线的解析式中，联立抛物线的对称轴方程，即可求得待定系数的值，进而确定抛物线的解析式．
（2）①根据（1）题得到的抛物线解析式，易求得B、P的坐标，根据坐标系两点间的距离公式可求得CP、BC、BP的长，通过勾股定理的逆定理可证得△BCP是Rt△，且以C为直角顶点，若O′C′∥CP，那么O′必在线段BC上，所以旋转角即为∠OBC，根据B、C的坐标，易得∠OBC=∠OCB=45°，由此得解．
②此题应分两种情况考虑：
1）BC′与BP重合，此时O′为所求点．过O′作x轴的垂线，设垂足为D，在①中已证得∠CBO=∠C′BO′=45°，这两个等角同时减去∠CBO′后可得到∠PBC=∠O′BD，即可证得△PBC∽△O′BD，根据PC、BC的比例关系，可求得O′D、BD的比例关系，进而可由勾股定理和O′B（即OB）的长求出O′D、BD的长，即可得到点O′的坐标；
2）当BO′与BP重合时，C′为所求的点．可过B作直线BE⊥x轴，过C′作C′E⊥BE于E，按照1）的思路，可证△EBC′∽△CBP，同样能得到C′E、BE的比例关系，进而由勾股定理出这两条线段的长，即可得到点C′的坐标．
【解析】
（1）由题意得，
解得．
所以，此抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；

（2）①如图，
顶点P为（1，4），CP=，BC=，
BP=，
又因为CP2+BC2=PB2，
所以∠PCB=90°．
又因为O′C′∥CP，
所以O′C′⊥BC，
所以点O′在BC上，
所以α=45°．
②如备用图1，
当BC′与BP重合时，过点O′作O′D⊥OB于D．
因为∠PBC+∠CBO′=∠CBO′+∠ABO′=45°，
所以∠ABO′=∠PBC．
则△DBO′∽△CBP，
所以，
所以，
所以BD=3O′D．
设O′D=x，则BD=3x，根据勾股定理，得x2+（3x）2=32，
解得，
所以BD=，
所以点O′的坐标为（，）．
如备用图2，
当BO′与BP重合时，过点B作x轴的垂线BE，过点C′作C′E⊥BE于E，
因为∠PBE+∠EBC′=∠PBE+∠CBP=45°，
所以∠EBC′=∠PBC．
所以△EBC′∽△CBP，
所以，
所以，
所以BE=3C′E．
设C′E为y，则BE=3y，根据勾股定理，
得，
解得，
所以BE=，
所以C′的坐标为（，）．