Question

过反比例函数图象上一点P（1，2ⁿ）作图象的切线（与图象只有一个交点的直线），交x轴于点A₁，过A₁作x轴的垂线交反比例函数图象于点P₁，过点P₁作图象的切线交x轴于点A₂，过A₂作x轴的垂线交反比例函数图象于点P₂，以此类推，可以找到无数个P点．
（1）当n=5时，属于整点（横纵坐标均为整数的点的点P有    个；
（2）当n=2011时，属于整点的点P有    个，最后一个整点P的坐标是    ．

Answer

（1）当n=5时，可知点P的坐标为（1，25），并由此求出函数的解析式，找到横纵坐标乘积等于25的点的坐标即可；
（2）当n=2011时，此时可知点P的坐标为（1，22011），并由此求出函数的解析式，找到横纵坐标乘积等于22011的点的坐标即可；
【解析】
（1）当n=5时P的坐标为（1，25），
∴反比例函数的解析式为：y=，
∴属于整点的点的坐标为：（1，25）、（2，24）、（22，23）、（23，22）、（24，2）、（25，1）六个，
∴当n=5时，属于整点（横纵坐标均为整数的点的点P有6个；

（2）当n=2011时P的坐标为（1，22011），
∴反比例函数的解析式为：y=，
∴属于整点的点的坐标为：（1，22011）、（2，22010）、（22，22009）…（22009，22）、（22010，2）、（22011，1）2012个，
∴当n=2011时，属于整点（横纵坐标均为整数的点的点P有2012个，最后一个点的坐标为（22011，1）．