Question

如图，在平面直角坐标系中有一直角梯形OABC，∠AOC=90°，AB∥OC，OC在x轴上，过A、B、C三点的抛物线表达式为．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）如果在梯形OABC内有一矩形MNPO，使M在y轴上，N在BC边上，P在OC边上，当MN为多少时，矩形MNPO的面积最大？最大面积是多少？
（3）若用一条直线将梯形OABC分为面积相等的两部分，试说明你的分法．

Answer

（1）抛物线的方程已知为：，由题中的图形可知A点的横坐标为x=0，代入抛物线方程，可得A点的纵坐标；
因为AB∥OC，所以B点纵坐标与A点相同，再将它代入抛物线方程可得B点坐标；
C点在x轴上，C点纵坐标为0，将它代入方程可得C点坐标．
（2）法一：过B作BQ⊥OC，交MN于H，交OC于Q，则Rt△BNH∽Rt△BCQ，

设MN=x，NP=y，，可得x和y的关系式，再由长方形的面积公式：
S=xy，将y用x表达，可得到S关于x的二次函数，再求此二次函数的最大值，由此可知MN为何值时，面积最大；
法二：过B作BQ⊥x轴于Q，则Rt△CPN∽Rt△CQB，后面于法一的解答相同；
法三：利用Rt△BHN∽Rt△NPC也能解答；
法四：过B点作BQ⊥x轴于Q，则Rt△BQC∽Rt△NPC，△BQC为等腰直角三角形，△NPC为等腰直角三角形，由此可以得出
PN与MN的关系式，再代入面积公式，可得二次函数，再求此二次函数的最大值即可．
（3）①对于任意一条直线，将直线从直角梯形的一侧向另一侧平移的过程中，总有一个位置使得直线将该梯形面积分割成相等的两部分．

②过上、下底作一条直线交AB于E，交OC于F，且满足于梯形AEFO或梯形BEFC的上底与下底的和为13即可．

③构造一个三角形，使其面积等于整个梯形面积的一半，

④平行于两底的直线，一定会有其中的一条将原梯形分成面积相等的两部分；
．
【解析】
（1）由图形得，点A横坐标为0，将x=0代入，
得y=10，
∴A（0，10）
∵AB∥OC，
∴B点纵坐标为10，将y=10代入抛物线表达式得，
，
∴x1=0，x2=8．
∵B点在第一象限，
∴B点坐标为（8，10）
∵C点在x轴上，
∴C点纵坐标为0，将y=0代入抛物线表达式得，

解得x1=-10，x2=18．
∵C在原点的右侧，
∴C点坐标为（18，0）． （4分）
（2）法一：过B作BQ⊥OC，交MN于H，交OC于Q，则Rt△BNH∽Rt△BCQ，
∴． （5分）
设MN=x，NP=y，则有．
∴y=18-x． （6分）
∴S矩形MNOP=xy=x（18-x）=-x2+18x=-（x-9）2+81．
∴当x=9时，有最大值81．
即MN=9时，矩形MNPO的面积最大，最大值为81． （8分）

法二：过B作BQ⊥x轴于Q，则Rt△CPN∽Rt△CQB，
∴．
设MN=x，NP=y，则有．
∴y=18-x．
∴S矩形MNOP=xy=x（18-x）=-x2+18x=-（x-9）2+81．
∴当x=9时，有最大值81．
即MN=9时，矩形MNPO的面积最大，最大值为81．
法三：利用Rt△BHN∽Rt△NPC也能解答，解答过程与法二相同．
法四：过B点作BQ⊥x轴于Q，则Rt△BQC∽Rt△NPC，
QC=OC-OQ=18-8=10，又QB=OA=10，
∴△BQC为等腰直角三角形，
∴△NPC为等腰直角三角形．
设MN=x时矩形MNPO的面积最大．
∴PN=PC=OC-OP=18-x．
∴S矩形MNOP=MN•PN=x（18-x）=-x2+18x=-（x-9）2+81．
∴当x=9时，有最大值81．
即MN=9时，矩形MNPO的面积最大，最大值为81．
（3）①对于任意一条直线，将直线从直角梯形的一侧向另一侧平移的过程中，总有一个位置使得直线将该梯形面积分割
成相等的两部分．

②过上、下底作一条直线交AB于E，交OC于F，且满足于梯形AEFO或梯形BEFC的上底与下底的和为13即可． （4分）

③构造一个三角形，使其面积等于整个梯形面积的一半，因此有：
△OCP1，；△OCP2，；△OAP3，P3（13，0）；△CBP4，P4（5，0）；
④平行于两底的直线，一定会有其中的一条将原梯形分成面积相等的两部分；