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如图,在△ABC,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的延长线上,且∠CBF=manfen5.com 满分网∠CAB.
(1)求证:直线BF是⊙O的切线;
(2)若AB=5,sin∠CBF=manfen5.com 满分网,求BC和BF的长.

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(1)连接AE,利用直径所对的圆周角是直角,从而判定直角三角形,利用直角三角形两锐角相等得到直角,从而证明∠ABF=90°. (2)利用已知条件证得∴△AGC∽△BFA,利用比例式求得线段的长即可. (1)证明:连接AE, ∵AB是⊙O的直径, ∴∠AEB=90°, ∴∠1+∠2=90°. ∵AB=AC, ∴∠1=∠CAB. ∵∠CBF=∠CAB, ∴∠1=∠CBF ∴∠CBF+∠2=90° 即∠ABF=90° ∵AB是⊙O的直径, ∴直线BF是⊙O的切线. (2)【解析】 过点C作CH⊥BF于H,CG⊥AB于G. ∵sin∠CBF=,∠1=∠CBF, ∴sin∠1=, ∵在Rt△AEB中,∠AEB=90°,AB=5, ∴BE=AB•sin∠1=, ∵AB=AC,∠AEB=90°, ∴BC=2BE=2, 在Rt△ABE中,由勾股定理得AE==2, ∴sin∠2==,cos∠2==, 在Rt△CBG中,可求得GC=4,GB=2, ∴AG=3, ∵GC∥BF, ∴△AGC∽△ABF, ∴ ∴BF==
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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