Question

如图，在平面直角坐标系中，点P从点A开始沿x轴向点O以1cm/s的速度移动，点Q从点O开始沿y轴向点B以2cm/s的速度移动，且OA=6cm，OB=12cm．如果P，Q分别从A，O同时出发．
（1）设△POQ的面积等于y，运动时间为x，写出y与x之间的函数关系，并求出面积的最大值；
（2）几秒后△POQ与△AOB相似．

Answer

（1）由图形得到△POQ为直角三角形，要求此三角形的面积只需表示出两直角边OP和OQ，由时间为xs，根据P与Q的速度，分别表示出两点走过的路程OQ和AP，由OA的长减去AP的长即可表示出OP的长，然后利用三角形的面积公式即可列出y与x的函数关系式，配方后根据a小于0，抛物线开口向下得到函数有最大值，当t为顶点横坐标时，y的最大值为顶点纵坐标，即为面积的最大值；
（2）根据题意存在两种情况使△POQ与△AOB相似，一是PQ与AB平行时，得到两对同位角相等，故两三角形相似，利用相似得比例即可列出关于t的方程，求出方程的解即可得到时间t；二是当∠PQO=∠BAO，∠ABO=∠QPO时，△POQ与△BOA相似，再根据相似得比例列出关于t的另一个方程，求出方程的解即可得到时间t的值，综上，得到所有满足题意的t的值使两三角形相似．
【解析】
（1）由图形得：△POQ为直角三角形，
∵OA=6cm，
∴OP=（6-t）cm，OQ=2tcm，
则y=（6-t）•2t=-t2+6t=-（t-3）2+9，
∵-1＜0，此二次函数为开口向下的抛物线，有最大值，
∴当x=3时，y最大值=9；

（2）分两种情况：
当PQ∥AB时，∠PQO=∠ABO，∠QPO=∠BAO，
∴△OPQ∽△OAB，
∴=，即，解得x=3；
当∠PQO=∠BAO，∠ABO=∠QPO时，△POQ∽△BOA，
∴=，即，解得x=．
综上，当x=3或x=秒后，△POQ与△AOB相似．