Question

如图，PA为⊙O的切线，A为切点．过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B．延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若BC=2OC，求sinE的值．

Answer

（1）要证PB是⊙O的切线，只要连接OA，再证∠PBO=90°即可；
（2）连接AD，证明△ADE∽△POE，得到，设OC=t，则BC=2t，AD=2t，由△PBC∽△BOC，可求出sin∠E的值．
（1）证明：连接OA
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAO=90°，
∵OA=OB，OP⊥AB于C，
∴BC=CA，PB=PA，
在△PBO和△PAO中
，
∴△PBO≌△PAO，
∴∠PBO=∠PAO=90°
∴PB为⊙O的切线；

（2）【解析】
连接AD，
∵BD是直径，∠BAD=90°
由（1）知∠BCO=90°
∴AD∥OP，
∴△ADE∽△POE，
∴，由AD∥OC得AD=2OC，
∵BC=2OC，设OC=t，则BC=2t，AD=2t．
由△PBC∽△BOC，得PC=2BC=4t，OP=5t．
∴，可设EA=2m，EP=5m，则PA=3m．
∵PA=PB，
∴PB=3m，sinE==．