Question

如图，抛物线y=ax²-5x+4a与x轴相交于点A、B，且过点C（5，4）．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）求a的值和该抛物线顶点P的坐标；
（3）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．

Answer

（1）把点C的坐标代入抛物线解析式求出a的值，从而得到抛物线解析式，然后令y=0，解关于x的一元二次方程即可得到A、B的坐标；
（2）把抛物线解析式整理成顶点式形式，即可写出顶点P的坐标；
（3）根据平移变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，根据点的平移，把顶点平移为第二象限的点即可．
【解析】
（1）∵抛物线y=ax2-5x+4a过点C（5，4），
∴25a-5×5+4a=4，
解得a=1，
∴抛物线解析式为y=x2-5x+4，
令y=0，则x2-5x+4=0，
解得x1=1，x2=4，
所以，点A（1，0），B（4，0）；

（2）由（1）可知，a=1，
又∵y=x2-5x+4=（x-）2-，
∴顶点P（，-）；

（3）要使平移后抛物线的顶点落在第二象限，可以先向左平移3个单位，再向上平移3个单位，
平移后的抛物线解析式为y=（x-+3）2-+3=（x+）2+=x2+x++=x2+x+1，
即y=x2+x+1（答案不唯一）．