Question

在平面直角坐标系中，矩形ABCD与等边△EFG按如图所示放置：点B、G与坐标原点O重合，F、B、G、C在x轴上，AB=3cm，BC=cm，EF=2cm．
（1）求△EFG的周长；
（2）△EFG沿x轴向右以每秒cm的速度运动，当点G移至与点C重合时，△EFG即停止运动，设△EFG的运动时间为t秒．
①若△EFG移动过程中，与矩形ABCD的重合部分的面积Scm²，求S与t的函数关系式；
②当△EFG移动（+1）秒时，E点到达P点的位置，一开口向下的抛物线过P、O两点且与射线AD相交于点H，与x轴的另一个交点为Q，若OQ+PH为定值，试求出定值，并求出相应的a的取值范围．

Answer

（1）根据等边三角形的周长等于边长的3倍列式计算即可得解；
（2）①分0≤t≤1时，重叠部分是三角形，用t表示出OG的长度，再根据∠EGF的正切值表示出另一直角边，然后根据直角三角形的面积公式列式整理即可；1＜t≤2时，重叠部分是四边形，用t表示出OF的长度，再根据∠EFG的正切值表示出另一直角边，然后根据重叠部分的面积等于等边△EFG的面积减去小直角三角形的面积，列式整理即可；2≤t≤4时，重叠部分是等边△EFG的面积，列式计算即可；
②根据路程=速度×时间求出EP，再求出AP的长度，然后得到点P的坐标，把点P坐标代入抛物线解析式得到关于a、b的等式，然后根据抛物线的对称轴求出另一点Q的坐标，再分点H在点P右侧时，利用抛物线的对称性表示出PH、OQ，然后相加，点H在点P左侧时，表示出PH、OQ，然后相加，即可得知为定值的情况，再根据抛物线开口方向向下，PH≥0列式求出a的取值范围．
【解析】
（1）∵EF=2cm，
∴△EFG的周长=3EF=3×2=6cm；

（2）如图1，①0≤t≤1时，S=t•（×t）=t2，
1＜t≤2时，△EFG没进入矩形的三角形的面积为，
S△=•（2-t）•（2-t），
=（2-t）2，
所以，重叠部分的面积为：S=×2×（×2）-（2-t）2，
=3-（2-t）2，
2≤t≤4时，S=×2×（×2），
=3；

②∵△EFG移动（+1）秒，速度为每秒cm，
∴EP=（+1）=3+，
∴AP=3+-=3，
∴点P（3，3），
∵点P在抛物线上，
∴ab=a-3，
∵抛物线y=x2+bx的对称轴为直线x=-=-，
∴与x轴的另一个交点Q的坐标为（-ab，0），
抛物线开口向下，a＜0，P、H关于x=-对称，
当点H在点P右侧时，
PH=2（--3）=-ab-6=-（a-3）-6=-a+3-6=-a-3，
∴OQ+PH=2×（-）-a-3=-（a-3）-a-3=-a+3-a-3=-2a，
此时OQ+PH不是定值，舍去；
当点H在点P左侧时，
PH=2（3+）=ab+6，
∴OQ+PH=2×（-）+（-a-3）=-ab+ab+6=6，
∴OQ+PH的定值为6，
∵PH≥0，
∴ab+6≥0，
即a-3+6≥0，
解得，a≥-3，
又∵a＜0，
∴-3≤a＜0，
综上，OQ+PH的定值为6，此时相应的a的取值范围是-3≤a＜0．