Question

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D 出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．
（1）求NC，MC的长（用t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形？
（3）当t为何值时，射线QN恰好将△ABC的面积平分？并判断此时△ABC的周长是否也被射线QN平分．

Answer

（1）依据题意易知四边形ABNQ是矩形∴NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC、AD已知，DQ就是t，即解，然后在直角三角形ABC中，由AB与BC的长根据勾股定理可求CA=5，从而得到cos∠NCM==，而cos∠NCM也等于 ，最后把表示出的CN代入即可表示出CM；
（2）四边形PCDQ构成平行四边形，根据平行四边形的对边相等得到PC=DQ，列出方程4-t=t即解；
（3）根据QN平分△ABC的面积，得到三角形CMN的面积等于三角形ABC面积的一半，根据三角形的面积公式，利用表示出的CN与MN的值表示出三角形CMN的面积，让其等于三角形ABC面积的一半，得到关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，然后把t的值代入表示出的MC与NC中，求出两线段的和，再根据AB、AC与BC的值求出三角形ABC的周长的一半，看与MC和NC两线段的和是否相等，从而判断出此时△ABC的周长是否也被射线QN平分．
【解析】
（1）∵AQ=3-t，
∴CN=4-（3-t）=1+t，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42，
∴AC=5，
在Rt△MNC中，cos∠NCM===，CN=1+t，
∴CM===；

（2）由于四边形PCDQ构成平行四边形，
∴PC=QD，即4-t=t，
解得t=2，
则当t=2时，四边形PCDQ构成平行四边形；

（3）∵NC=t+1，MN=，
∴S△MNC=NC•MN=×4×3，…（8分）
整理得：（1+t）2=8，
解得：t1=2-1，t2=-2-1（舍）…（9分）
∴当t=2-1时，△ABC的面积被射线QN平分．…（10分）
当t=-2-1时，MC+NC=+1+t=≠（3+4+5），
∴此时△ABC的周长不被射线QN平分．…（12分）