Question

如图，BD是⊙O的直径，⊙O经过A、B、C三点且AB=AC，AD交BC于点E，AE=4，ED=8．
（1）求证：△ABE∽△ADB，并求AB的长；
（2）延长DB到F，使BF=BO，连接FA，证明直线FA与⊙O相切；
（3）求sinF的值．

Answer

（1）易得△ABE与△ADB的两个内角相等，故△ABE∽△ADB，进而可得=，代入数据可得答案；
（2）连接OA，根据勾股定理可得BF=BO=AB，易得∠OAF=90°，故可得直线FA与⊙O相切；
（3）利用（2）中结论即可得出sinF==．
证明：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C．
∵∠C=∠D，
∴∠ABC=∠D．
又∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB，
∴=，
∴AB2=AD•AE=（AE+ED）•AE=（4+8）×4=48，
∴AB=4；

（2）证明：连接OA，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∴BD===8，
∴BF=BO=BD=×8=4．
∵AB=4，
∴BF=BO=AB，即△ABO为等边三角形，∠BFA=∠BAF，
∴∠BAO=∠OBA=60°，又∠OBA=∠BFA+∠BAF，
∴∠BFA=∠BAF=30°，
∴∠OAF=∠BAF+∠BAO=90°，
∴直线FA与⊙O相切．

（3）【解析】
∵∠OAF=90°，
∴sinF==．