Question

关于x的一元二次方程x²-（m-3）x-m²=0．
（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；
（2）设这个方程的两个实数根为x₁，x₂，且|x₁|=|x₂|-2，求m的值及方程的根．

Answer

（1）找出一元二次方程中的a，b及c，表示出b2-4ac，然后判断出b2-4ac大于0，即可得到原方程有两个不相等的实数根；
（2）利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，判断出两根之积小于0，得到两根异号，分两种情况考虑：若x1＞0，x2＜0，利用绝对值的代数意义化简已知的等式，将表示出的两根之和代入，列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，进而确定出方程，求出方程的解即可；若x1＜0，x2＞0，同理求出m的值及方程的解．
【解析】
（1）一元二次方程x2-（m-3）x-m2=0，
∵a=1，b=-（m-3）=3-m，c=-m2，
∴△=b2-4ac=（3-m）2-4×1×（-m2）=5m2-6m+9=5（m-）2+，
∴△＞0，
则方程有两个不相等的实数根；

（2）∵x1•x2==-m2≤0，x1+x2=m-3，
∴x1，x2异号，
又|x1|=|x2|-2，即|x1|-|x2|=-2，
若x1＞0，x2＜0，上式化简得：x1+x2=-2，
∴m-3=-2，即m=1，
方程化为x2+2x-1=0，
解得：x1=-1+，x2=-1-，
若x1＜0，x2＞0，上式化简得：-（x1+x2）=-2，
∴x1+x2=m-3=2，即m=5，
方程化为x2-2x-25=0，
解得：x1=1-，x2=1+．