Question

如图，梯形ABCD是等腰梯形，且AD∥BC，O是腰CD的中点，以CD长为直径作圆，交BC于E，过E作EH⊥AB于H．EH=CD，
（1）求证：OE∥AB；
（2）求证：AB是⊙O的切线；
（3）若BE=4BH，求的值．

Answer

（1）根据等腰梯形的性质、等腰三角形的性质可以判断出∠B=∠OEC，然后由同位角相等得出OE∥AB；
（2）作辅助线（过点O作OF⊥AB于点F，过点O作OG∥BC交AB于点G）构建平行四边形OEHF，然后由“平行四边形的对边相等的性质”、已知条件求得OF=EH=CD，即OF是⊙O的半径；最后根据切线的判定得出结论；
（3）求出△EHB∽△DEC，根据相似三角形的性质和勾股定理解答．
（1）证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，且AD∥BC，
∴AB=CD，∠B=∠C；
又∵CD是直径，点O是腰CD的中点，
∴点O是圆心，
∴OE=OC，
∴∠OEC=∠C（等边对等角），
∴∠OEC=∠B（等量代换），
∴OE∥AB（同位角相等，两直线平行）；

（2）证明：过点O作OF⊥AB于点F．
∵由（1）知，OE∥AB，
∴OE∥FH；
又∵EH⊥AB，
∴FO∥HE，
∴四边形OEHF是平行四边形（有两组对边平行的四边形是平行四边形），
∴OF=EH（平行四边形的对边相等）；
∵EH=CD，
∴OF=CD，即OF是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线；

（3）【解析】
连接DE．
∵CD是直径，
∴∠DEC=90°（直径所对的圆周角是直角），则∠DEC=∠EHB，
又∵∠B=∠C，
∴△EHB∽△DEC，
∴=；
∵BE=4BH，
∴设BH=k，则BE=4k，EH==k；
∴CD=2EH=2k
∴===．