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如图,梯形ABCD是等腰梯形,且AD∥BC,O是腰CD的中点,以CD长为直径作圆...

如图,梯形ABCD是等腰梯形,且AD∥BC,O是腰CD的中点,以CD长为直径作圆,交BC于E,过E作EH⊥AB于H.EH=manfen5.com 满分网CD,
(1)求证:OE∥AB;
(2)求证:AB是⊙O的切线;
(3)若BE=4BH,求manfen5.com 满分网的值.

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(1)根据等腰梯形的性质、等腰三角形的性质可以判断出∠B=∠OEC,然后由同位角相等得出OE∥AB; (2)作辅助线(过点O作OF⊥AB于点F,过点O作OG∥BC交AB于点G)构建平行四边形OEHF,然后由“平行四边形的对边相等的性质”、已知条件求得OF=EH=CD,即OF是⊙O的半径;最后根据切线的判定得出结论; (3)求出△EHB∽△DEC,根据相似三角形的性质和勾股定理解答. (1)证明:∵四边形ABCD是等腰梯形,且AD∥BC, ∴AB=CD,∠B=∠C; 又∵CD是直径,点O是腰CD的中点, ∴点O是圆心, ∴OE=OC, ∴∠OEC=∠C(等边对等角), ∴∠OEC=∠B(等量代换), ∴OE∥AB(同位角相等,两直线平行); (2)证明:过点O作OF⊥AB于点F. ∵由(1)知,OE∥AB, ∴OE∥FH; 又∵EH⊥AB, ∴FO∥HE, ∴四边形OEHF是平行四边形(有两组对边平行的四边形是平行四边形), ∴OF=EH(平行四边形的对边相等); ∵EH=CD, ∴OF=CD,即OF是⊙O的半径, ∴AB是⊙O的切线; (3)【解析】 连接DE. ∵CD是直径, ∴∠DEC=90°(直径所对的圆周角是直角),则∠DEC=∠EHB, 又∵∠B=∠C, ∴△EHB∽△DEC, ∴=; ∵BE=4BH, ∴设BH=k,则BE=4k,EH==k; ∴CD=2EH=2k ∴===.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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