Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0 ），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为（ ）

A．（3，4）（2，4）
B．（3，4）（2，4）（8，4）
C．（2，4）（8，4）
D．（3，4）（2，4）（8，4）（2.5，4）

Answer

分为两种情况：①OD=OP，求出CP，即可求出P的坐标；②DP=OD=5，此时有两点，过P′作P′N⊥OA于N，求出CP′即可；同法可求P″的坐标．
【解析】
有两种情况：①以O为圆心，以5为半径画弧交BC于P点，此时OP=OD=5，
在Rt△OPC中，OC=4，OP=5，
由勾股定理得PC=3，
则P的坐标是（3，4）；

②以D为圆心，以5为半径画弧交BC于P′和P″点，此时DP′=DP″=OD=5，
过P′作P′N⊥OA于N，
在Rt△OP′N中，设CP′=x，
则DN=5-x，P′N=4，OP=5，由勾股定理得：42+（5-x）2=52，
x=2，
则P′的坐标是（2，4）；
过P″作P″M⊥OA于M，
设BP″=a，
则DM=5-a，P″M=4，DP″=5，
在Rt△DP″M中，由勾股定理得：（5-a）2+42=52，
解得：a=2，
∴BP″=2，CP″=10-2=8，
即P″的坐标是（8，4）；
故选B．