Question

如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），A是x轴正半轴上的一个动点，M是线段AC的中点．把线段AM进行以A为旋转中心、向顺时针方向旋转90°的旋转变换得到AB．过B作x轴的垂线、过C作y轴的垂线，两直线交于D，直线DB交x轴于一点E．
（1）求证：△AOC∽△BEA；
（2）如果点A的横坐标为t，△BCD的面积为S，当t为何值时，S=6.25？
（3）如果以B、C、D为顶点的三角形与△AOC相似，求此时点A的坐标．

Answer

（1）由题意可得：∠CAB=90°，∠COA=∠BEA=90°，又由同角的余角相等，即可求得∠BAE=∠OCA，然后根据有两角对应相等的三角形相似，即可判定△AOC∽△BEA；
（2）由△AOC∽△BEA，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AE与BE的长，继而求得S与t的关系，又由S=6.25，即可求得t的值；
（3）由∠BDC=∠AOC=90°，可分别从当，即 时，△BDC∽△AOC与当 ，即 时，△BDC∽△COA去分析求解即可求得答案．
（1）证明：∵由题意得：∠CAB=90°，
∴∠OAC+∠BAE=90°，
又∵OC⊥OA，
∴∠OCA+∠OAC=90°，
∴∠BAE=∠OCA，
又∵∠COA=∠BEA=90°，
∴△OCA∽△EAB；

（2）∵△OCA∽△EAB，
∴，
∴，
∴AE=2，BE=t，
∴CD=OE=OA+AE=t+2，DE=OC-BE=4-t，
∴S=CD•BD=（t+2）（4-t）=-t2+t+4，
∴S=-t2+t+4=6.25，
二次项系数化1，得：t2-6t+9=0，
解得：t1=t2=3，
∴当t=3时，S=6.25；

（3）∵∠BDC=∠AOC=90°，
∴当，即 时，△BDC∽△AOC，
解得：t1=2-2，t2=-2-2（舍去）；
当 ，即 时，△BDC∽△COA，
整理，得：t2=-16（无实根）；
故A点的坐标为（2-2，0）．