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已知抛物线上有不同的两点E(k+3,-k2+1)和F(-k-1,-k2+1). ...

已知抛物线manfen5.com 满分网上有不同的两点E(k+3,-k2+1)和F(-k-1,-k2+1).
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图,抛物线manfen5.com 满分网与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B,M为AB的中点,∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转,且∠PMQ=45°,MP交y轴于点C,MQ交x轴于点D.设AD的长为m(m>0),BC的长为n,求n和m之间的函数关系式;
(3)当m,n为何值时,∠PMQ的边过点F?

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(1)求抛物线的解析式关键是求出b的值,根据E、F的坐标可发现,E、F关于抛物线的对称轴对称,由此可求出抛物线的对称轴方程,进而可求出b的值及抛物线的解析式; (2)根据抛物线的解析式可求出A、B的坐标,可得到∠OAB=∠OBA=∠PMQ=45°,可证△BCM∽△AMD,根据相似三角形得到的比例线段求出m、n的函数关系式; (3)将点F的坐标代入抛物线的解析式中,即可求出F点的坐标,进而可由待定系数法求出直线MF的解析式,然后根据直线MF与坐标轴的交点坐标求出m、n的值.(需注意的是此题要分MP、MQ过F的两种不同情况分类讨论) 【解析】 (1)抛物线的对称轴为;(1分) ∵抛物线上不同两个点E(k+3,-k2+1)和F(-k-1,-k2+1)的纵坐标相同, ∴点E和点F关于抛物线对称轴对称,则,且k≠-2; ∴抛物线的解析式为;(2分) (2)抛物线与x轴的交点为A(4,0),与y轴的交点为B(0,4), ∴AB=,AM=BM=;(3分) 在∠PMQ绕点M在AB同侧旋转过程中,∠MBC=∠DAM=∠PMQ=45°, 在△BCM中,∠BMC+∠BCM+∠MBC=180°,即∠BMC+∠BCM=135°, 在直线AB上,∠BMC+∠PMQ+∠AMD=180°,即∠BMC+∠AMD=135°; ∴∠BCM=∠AMD, ∴△BCM∽△AMD;(4分) ∴,即,; 故n和m之间的函数关系式为(m>0);(5分) (3)∵F(-k-1,-k2+1)在上, ∴将F代入函数解析式得:, 化简得,k2-4k+3=0,∴k1=1,k2=3; 即F1(-2,0)或F2(-4,-8);(6分) ①MF过M(2,2)和F1(-2,0),设MF为y=kx+b, 则,解得; ∴直线MF的解析式为; 直线MF与x轴交点为(-2,0),与y轴交点为(0,1); 若MP过点F(-2,0),则n1=4-1=3,m1=; 若MQ过点F(-2,0),则m2=4-(-2)=6,n2=;(7分) ②MF过M(2,2)和F2(-4,-8),设MF为y=kx+b, 则,解得; ∴直线MF的解析式为; 直线MF与x轴交点为(,0),与y轴交点为(0,); 若MP过点F(-4,-8),则n3=4-()=,m3=; 若MQ过点F(-4,-8),则m4=4-=,n4=;(8分) 故当,,或时,∠PMQ的边过点F.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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