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如图,在圆内接四边形ABCD中,CD为∠BCA的外角的平分线,F为上一点,BC=...

如图,在圆内接四边形ABCD中,CD为∠BCA的外角的平分线,F为manfen5.com 满分网上一点,BC=AF,延长DF与BA的延长线交于E.
(1)求证:△ABD为等腰三角形.
(2)求证:AC•AF=DF•FE.

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(1)CD为∠BCA的外角的平分线得到∠MCD=∠ACD,求出∠MCD=∠DAB推出∠DBA=∠DAB即可; (2)由在△CDA与△FAE中,∠CDA=∠FAE,∠DCA=∠AFE,得出△CDA∽△FAE,即可推出CD•EF=AC•AF. 证明:(1)∵四边形ABCD是圆O的内接四边形, ∴∠DCB+∠DAB=180°, ∵∠MCD+∠DCB=180°, ∴∠MCD=∠DAB, ∵CD为∠BCA的外角的平分线, ∴∠MCD=∠ACD, ∵∠DCA和∠DBA都对弧AFD, ∴∠DCA=∠DBA, ∴∠DAB=∠DBA, ∴DB=DA, ∴△ABD为等腰三角形. (2)由(1)知AD=BD,BC=AF,则弧AFD=弧BCD,弧AF=弧BC, ∴∠BDC=∠ADF,弧CD=弧DF,CD=DF,① ∴∠BDC+∠BDA=∠ADF+∠BDA, 即∠CDA=∠BDF, 而∠FAE+∠BAF=∠BDF+∠BAF=180°, ∴∠FAE=∠BDF=∠CDA, 同理∠DCA=∠AFE ∴在△CDA与△FAE中,∠CDA=∠FAE,∠DCA=∠AFE, ∴△CDA∽△FAE, ∴即CD•EF=AC•AF, 又由①有AC•AF=DF•EF命题即证.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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