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如图,△ABC是⊙O的内接三角形,AC=BC,D为⊙O中上一点,延长DA至点E,...

如图,△ABC是⊙O的内接三角形,AC=BC,D为⊙O中manfen5.com 满分网上一点,延长DA至点E,使CE=CD.
(1)求证:AE=BD;
(2)若AC⊥BC,求证:manfen5.com 满分网

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(1)根据等腰三角形性质求出∠CAB=∠CBA,∠E=∠CDE,根据∠CBA=∠CDA推出∠ECD=∠BCA,推出∠ECA=∠BCD,证△AEC和△BDC全等即可. (2)根据等腰直角三角形性质求出∠ABC=45°,根据圆周角定理求出∠DCA=∠CBA=45°,根据三角形内角和定理求出∠F=45°,推出CF=CD,根据SAS证△ACF≌△BCD,推出AF=BD,根据勾股定理求出即可. 证明:(1)在△ABC中, ∵AC=BC, ∴∠CAB=∠CBA, ∵∠CBA=∠CDE,(同弧上的圆周角相等), ∴∠ACB=∠ECD, ∴∠ACB-∠ACD=∠ECD-∠ACD, ∴∠ACE=∠BCD. 在△ACE和△BCD中, , ∴△ACE≌△BCD, ∴AE=BD. (2)的结论应该为AD+BD=CD 证明:作CF⊥CD,交DA的延长线于F, ∵AC⊥BC,AC=BC, ∴O在AB上,∠CAB=∠CBA=45°, ∴∠CDA=∠CBA=45°, ∴∠F=180°-∠FCD-∠CDA=45°=∠CDA, ∴CF=CD, ∵∠FCD=∠ACB=90°, ∴∠FCA=∠BCD, 在△ACF和△BCD中 , ∴△ACF≌△BCD, ∴BD=AF, ∴AD+BD=AD+AF=DF, 在△DCF中,由勾股定理得:DF==CD.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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