Question

（1）已知一元二次方程x²+px+q=0（p²-4q≥0）的两根为x₁、x₂；求证：x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q．
（2）已知抛物线y=x²+px+q与x轴交于A、B两点，且过点（-1，-1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d²取得最小值，并求出最小值．

Answer

（1）先根据求根公式得出x1、x2的值，再求出两根的和与积即可；
（2）把点（-1，-1）代入抛物线的解析式，再由d=|x1-x2|可知d2=（x1-x2）2=（x1+x2）2-4 x1•x2=p2，再由（1）中 x1+x2=-p，x1•x2=q即可得出结论．
证明：（1）∵a=1，b=p，c=q
∴△=p2-4q
∴x=即x1=，x2=
∴x1+x2=+=-p，
x1•x2=•=q；

（2）把（-1，-1）代入y=x2+px+q得1-p+q=-1，
所以，q=p-2，
设抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为（x1，0）、（x2，0）
∵d=|x1-x2|，
∴d2=（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1•x2=p2-4q=p2-4p+8=（p-2）2+4
当p=2时，d2的最小值是4．