Question

在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C．
（1）如图（1），当AB∥CB′时，设A′B′与CB相交于点D．证明：△A′CD是等边三角形；
（2）如图（2），连接A′A、B′B，设△ACA′和△BCB′的面积分别为S_△ACA′和S_△BCB′，求证：S_△ACA′：S_△BCB′=1：3．

Answer

（1）由∠ACB=90°，∠ABC=30°得∠CAB=90°-30°=60°，根据旋转的性质可得∠CA′B′=∠CAB=60°，∠3=∠ABC=30°，而AB∥CB′，根据平行线的性质得∠1=∠3=30°，再利用三角形外角性质得到∠2=∠1+∠ABC=60°，则在△A′CD中，∠CA′D=∠2=60°，即可得到结论；
（2）由∠ACB=90°，∠ABC=30°，tan∠ABC=tan30°==，则BC=AC，根据旋转的性质可得CA′=CA，CB′=CB，∠ACA′=∠BCB′=θ，然后根据相似三角形的判定得到△ACA′∽△BCB′，利用相似的性质得到S△ACA′：S△BCB′=AC2：BC2=AC2：（AC）2，即可得到结论．
证明：（1）如图1，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠CAB=90°-30°=60°，
∵△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C，
∴∠CA′B′=∠CAB=60°，∠3=∠ABC=30°，
又∵AB∥CB′，
∴∠1=∠3=30°，
∴∠2=∠1+∠ABC=60°，
在△A′CD中，∠CA′D=∠2=60°，
∴△A′CD是等边三角形；
（2）如图2，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴tan∠ABC=tan30°==，
∴BC=AC，
∵△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C，
∴CA′=CA，CB′=CB，∠ACA′=∠BCB′=θ，
∴△ACA′∽△BCB′，
∴S△ACA′：S△BCB′=AC2：BC2=AC2：（AC）2=1：3．