Question

如图，在⊙O中，AB为直径，点C、点D在⊙O上，CP⊥AB于P，CH⊥DB交DB延线于H，BC平分∠ABH．求证：CH²=DH•BH．

Answer

由CP⊥AB于P，CH⊥DB交DB延线于H，BC平分∠ABH，易求得∠HCB=∠BCP，又由AB为直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB=90°，然后根据同角的余角相等，证得∠BCP=∠A，又由∠D=∠A，即可得∠BCH=∠D，继而证得△BCH∽△CDH，利用相似三角形的对应边成比例，即可证得CH2=DH•BH．
证明：∵CP⊥AB，CH⊥DB，
∴∠CPB=∠CHB=90°，
∵BC平分∠ABH，
∴∠PBC=∠HBC，
∴∠HCB=∠BCP，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠CBP=90°，
∵∠BCP+∠CBP=90°，
∴∠BCP=∠A，
∵∠D=∠A，
∴∠BCH=∠D，
∵∠CHB=∠DHC=90°，
∴△BCH∽△CDH，
∴CH：DH=BH：CH，
∴CH2=DH•BH．