Question

如图，某海域半径为30海里的暗礁区中心有一哨所A，值班人员发现一艘轮船从哨所正西方向60海里的B处向哨所驶来，另一艘轮船从哨所西偏北45度方向海里C处向哨所驶来，哨所及时地发了危险信号．
（1）求发出信号时，B、C两轮船之间的距离；
（2）两轮船收到危险信号时，为避免触礁，改变航向的角度至少分别应为多少？

Answer

（1）根据题意画出图形，由题意可知，∠2=45°，AC=30海里，AB=30海里，由于∠2=45°，CD⊥AB，故△ACD是等腰直角三角形，由勾股定理可求出AD=CD=30海里，故可知CD是AB的垂直平分线，所以△ABC是等腰直角三角形，所以BC=AC=30海里；
（2）若两船收到危险信号时，为避免触礁，改变航向，则轮船B的航向为BF、轮船C的航向为BE，连接AF、AE，则△ABF与△ACE均为直角三角形，在Rt△ABF中，由于AF=30海里，AB=60海里，所以∠ABF=30°；在Rt△ACE中，AE=30海里，AC=30海里，所以∠ACE=45度，故可得出结论．
【解析】
（1）由题意可知：∠2=45°，AC=30海里，AB=30海里，
∵∠2=45°，CD⊥AB，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AD=CD===30海里，
∵AB=60海里，
∴CD是AB的垂直平分线，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=AC=30海里；

（2）若两船收到危险信号时，为避免触礁，改变航向，则轮船B的航向为BF、轮船C的航向为BE，连接AF、AE，则△ABF与△ACE均为直角三角形，
在Rt△ABF中，
∵AF=30海里，AB=60海里，
∴∠ABF=30°；
∴轮船B的航向为：北偏东60°，改变航向的角度为30°；
在Rt△ACE中，
∵AE=30海里，AC=30海里，
∴sin∠ACE===，
∴∠ACE=45°，
∴轮船C的航向为正东方向，改变航向的角度为45°．
答：为避免触礁，B、C两轮船改变航向的角度至少分别为：30°，45°．