Question

如图，矩形OABC中，AB=10cm，BC=20cm，P、Q两点同时从A点出发，分别以1cm/s和2cm/s的速度沿A→B→C→O→A运动，当Q点到达A点时，P、Q两点立即停止运动，设运动时间为ts．
（1）当t=7s时，求过O、A、Q三点的抛物线解析式．
（2）当P、Q分别在AB边和BC边上运动时，为何值时，以Q、B、P三点为顶点的三角形与以C、O、B为顶点的三角形相似？
（3）设△OPQ的面积为S，试写出S与t的函数关系式及自变量t的范围．
（4）在整个运动过程中，是否存在PQ⊥BO？若存在，求出直线PQ的解析式；若不存在，说明理由．

Answer

（1）首先求得BQ的长，则CQ的长即可求得，则Q的坐标可得到，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）根据△COB是直角三角形，且BC=2OC，则当BQ=2BP或BP=2BQ时，两个三角形相似，首先利用时间t表示出BP和BQ的长，即可求得t的值；
（3）分当t≤5时，当5＜t＜10时，当10≤t≤15时，当15＜t＜20时，当20≤t≤30时，几种情况进行讨论，利用三角形的面积公式即可求解；
（4）当5＜t＜10时，P在AB上，Q在BC上时，PQ⊥BO能成立，此时：BP=2BQ，据此即可求得t的值；当20≤t≤30时，P在BC上，Q在OA上，PQ⊥BO能成立，此时直线PQ与直线BO的斜率互为负倒数，即可求得t的值，其它的情况不可能出现垂直的情况．
【解析】
（1）∵OA=BC=20cm，
∴A的坐标是（20，0），
当t=7cm时，BQ=2×7-10=4cm，则CQ=20-4=16cm，
则Q的坐标是：（16，10）．
设过O、A、Q三点的抛物线解析式是：y=ax2+bx+c，
根据题意得：，
解得：
则函数的解析式是：y=-x2+x；
（2）当P、Q分别在AB边和BC边上运动时，BP=10-t，BQ=2t-10，
当BP=2BQ时，10-t=2（2t-10），解得：t=6；
当BQ=2BP时，2t-10=2（10-t）时，解得：t=7.5，
故当t=6t或7.5t时，两个三角形相似；
（3）当t≤5时，P，Q都在AB上，AP=t，AQ=2t，则PQ=2t-t=t，则S=×t×20=10t；
当5＜t＜10时，P在AB上，Q在BC上，BP=10-t，BQ=2t-10，S=S△OBQ+S△OBP-S△BPQ=×20（10-t）+×10（2t-10）-（10-t）（2t-10）=t2-15t+100；
当10≤t≤15时，P，Q都在BC上，BP=t-10，BQ=2t-10，则PQ=（2t-10）-（t-10）=t，则S=×10t=5t；
当15＜t＜20时，P在BC上，Q在OC上，CP=30-t，OQ=40-2t，则S=（40-2t）（30-t）=t2-50t+600；
当20≤t≤30时，P在BC上，Q在OA上，CP=30-t，OQ=2t-40，则S=×10（2t-40）=10（t-20）=10t-200．
（4）当5＜t＜10时，P在AB上，Q在BC上时，PQ⊥BO时，有BP=2BQ时，10-t=2（2t-10），解得：t=6；
当20≤t≤30时，P在BC上，Q在OA上，CP=30-t，OQ=2t-40，PQ⊥BO时，有=-2，解得：t=25，
故当t=6cm或25cm时，PQ⊥BO．