Question

如图：已知，四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，已知AB=5，BC=6，cosB=，点O为BC边上的一个动点，连接OD，以O为圆心，BO为半径的⊙O分别交边AB于点P，交线段OD于点M，交射线BC于点N，连接MN．
（1）当BO=AD时，求BP的长；
（2）点O运动的过程中，是否存在BP=MN的情况？若存在，请求出当BO为多长时BP=MN；若不存在，请说明由；
（3）在点O运动的过程中，以点C为圆心，CN为半径作⊙C，请直接写出当⊙C存在时，⊙O与⊙C的位置关系，以及相应的⊙C半径CN的取值范围．

Answer

（1）过点A作AE⊥BC，在⊙O中，过点O作OH⊥AB，则四边形ADCE是矩形，可由余弦的概念，求得AE，则有AD=CE=BC-BE，而得到BO=AD的值，由垂径定理知，PH=BH，由BH：OB=cosB，求得BH，即有PB=2BH；
（2）用反证法，证明不存在BP=MN；
（3）由题意知，当点N在BC上时，⊙C与⊙O外切，有＜CN＜6=BC，当点N在BC的延长线上时，⊙C与⊙O内切，由于点这在AB上，BP的最大值为5，则可利用余弦的概念，求得圆O的直径为，故0＜CN≤-6=．
【解析】
（1）过点A作AE⊥BC
在Rt△ABE中，由AB=5，cosB=，得BE=3
∵CD⊥BC，AD∥BC，BC=6
∴AD=EC=BC-BE=3
当BO=AD=3时，在⊙O中，过点O作OH⊥AB，则BH=HP，
∵
∴BH=
∴BP=

（2）不存在BP=MN的情况．
假设BP=MN成立，
因为BP和MN为⊙O的弦，则必有∠BOP=∠DOC，
过P作PQ⊥BC，过点O作OH⊥AB，
∵CD⊥BC，则有△PQO∽△DCO
设BO=x，则PO=x，OC=6-x，
由，得BH=，
∴BP=2BH=
∴BQ=BP×cosB=，PQ=
∴OQ=
∵△PQO∽△DCO
∴，即
得
当时，BP==＞5，与点P应在边AB上不符，
∴不存在BP=MN的情况．

（3）情况一：⊙O与⊙C相外切，此时0＜CN＜6；
情况二：⊙O与⊙C相内切，此时0＜CN≤．