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如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E是BC上的一点,且CE=8,BC=12,C...

如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E是BC上的一点,且CE=8,BC=12,CD=4manfen5.com 满分网,∠C=30°,∠B=60°.点P是线段BC边上一动点(包括B、C两点),设PB的长是x.
(1)当x为何值时,以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形.
(2)当x为何值时,以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形.
(3)P在BC上运动时,以点P、A、D、E为顶点的四边形能否为菱形.
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(1)如图,分别过A、D作BC的垂线,垂足分别为F、G,容易得到AF=DG,AD=FG,而CD=4,∠C=30°,由此可以求出CG=6,DG=AF=2,又∠B=60°,BF=2,若点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形,则∠APC=90°或∠DPC=90°,那么P与F重合或P与G重合,根据前面求出的长度即可求出此时的x的值; (2)若以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形,由于AD=BE=4,且AD∥BE,有两种情况:①当点P与B重合时,利用已知条件可以求出BP的长度;②当点P在CE中点时,利用已知条件也可求出BP的长度; (3)以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形.由(1)(2)知,当BP=0或8时,以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形,根据已知条件分别计算一组邻边证明它们相等即可证明它是菱形. 【解析】 (1)分别过点A、D作BC的垂线,垂足分别为F、G. ∵∠C=30°,且CD=, ∴DG=2,CG=6, ∴DG=AF=2, ∵∠B=60°, ∴BF=2. ∵BC=12, ∴FG=AD=4,(2分) 显然,当P点与F或点G重合时, 以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形. 所以x=2或x=6;(2分) (2)∵AD=BE=4,且AD∥BE, ∴当点P与B重合时, 即x=0时.点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形,(2分) 又∵当点P在CE中点时,EP=AD=4,且EP∥AD, ∴x=8时,点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形;(2分) (3)由(1)(2)知,∵∠BAF=30°, ∴AB=2BF=4, ∴x=0时,且PA=AD, 即以点P、A、D、E为顶点的四边形为菱形.(1分) ∵AB=BE,且∠B=60°, ∴△ABE为正三角形. ∴AE=AD=4. 即当x=8时,即以点P、A、D、E为顶点的四边形为菱形, ∴当BP=0或8时,以点P、A、D、E为顶点的四边形是菱形.(1分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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