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如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(5,0)、B(6,-6)和原点O,过点...

如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(5,0)、B(6,-6)和原点O,过点B的直线y=mx+n与抛物线相交于点C(2,y).过点C作平行于x轴的直线交y轴于点D,在抛物线对称轴右侧位于直线DC下方的抛物线上,任取一点P,过点P作直线PF平行于y轴,交直线DC于点E,交x轴于点F.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)求△OBC的面积;
(3)是否存在这样的点P,使得以P、C、E为顶点的三角形与△OCD相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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(1)把点A、B以及原点O的坐标代入抛物线解析式,利用待定系数法求二次函数解析式解答即可; (2)把点C代入抛物线解析式求出y,从而得到点C的坐标,再利用待定系数法求一次函数解析式求出直线BC的解析式,设BC与x轴相交于点G,求出点G的坐标,再根据S△OBC=S△OBG+S△OCG,列式求解即可; (3)根据点C的坐标表示出CD、OD,设点P(m,n),表示出PE、CE,然后分①OD与CE是对应边,②OD与EP是对应边,利用相似三角形对应边成比例列出比例式求出m、n的关系式,再根据点P在抛物线上,组成方程组求解即可. 【解析】 (1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(5,0)、B(6,-6)和原点O, ∴, 解得, 故,抛物线的函数关系式为y=-x2+5x; (2)∵C(2,y)在抛物线上, ∴-22+5×2=y, 解得y=6, ∴C点坐标为(2,6), ∵B、C在直线y=mx+n上, ∴, 解得, ∴直线BC的解析式为y=-3x+12, 设BC与x轴交于点G,则-3x+12=0, 解得x=4, 所以,点G的坐标为(4,0), S△OBC=S△OBG+S△OCG, =×4×|-6|+×4×6=12+12=24; (3)存在P,使得△OCD∽△CPE. 理由如下:设P(m,n), ∵∠ODC=∠E=90°, ∴PE=6-n,CE=m-2, ∵C点坐标为(2,6), ∴CD=2,OD=6, ①OD与CE是对应边时,∵△OCD∽△CPE, ∴=, 即=, 解得,m=20-3n, ∵(m,n)在抛物线上, ∴, 解得,(为点C坐标), 所以,点P(,); ②OD与EP是对应边时,∵△OCD∽△PCE, ∴=, 即=, 解得,n=12-3m, ∵(m,n)在抛物线上, ∴, 解得(为点C坐标),, 所以,点P(6,-6), 综上所述,P点坐标为和(6,-6).
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考点分析:
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分组频数频率
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20.5~25.50.20
25.5~30.5180.30
30.5~35.515
35.5~40.590.15
合计1.00
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(2)如果成绩在31分以上(含31分)的同学属于优良,请你估计全校约有多少人达到优良水平;
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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