Question

如图，菱形ABCD的边长为8cm，∠B=60°，P、Q同时从A点出发，点P以1cm/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2cm/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动．当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q运动的时间为x秒，△APQ与△ABC重叠部分的面积为ycm²（规定：点和线段是面积为0的三角形）．
（1）当x=______秒时，P和Q相遇；
（2）当x=______

Answer

（1）菱形ABCD的边长为8cm，∠B=60°，则易证△ABC是等边三角形，且边长是8cm．由点P、Q从出发到相遇，则两人所走的路程的和是24cm．设从出发到相遇所用的时间是x秒，据此列方程，求解即可；
（2）当P在AC上，Q在AB上时，由于∠PAQ=60°，则△APQ一定不是等腰直角三角形；当P在AC上，Q在BC上时，若△APQ是等腰直角三角形，由于∠PAQ＜60°，即△APQ中A点不能为直角顶点，如果∠PQA=90°，则∠PAQ=45°，∠QAB=15°，而∠B=60°，所以∠CQA=75°＜∠PQA，不合题意，即△APQ中Q点不能为直角顶点，所以只能∠APQ=90°，AP=PQ，根据这个相等关系，就可以得到一个关于x的方程，就可以得到x的值；当P在BC上，Q在CD上时，△APQ一定不是等腰直角三角形；
（3）当P在AC上，Q在AB上时，AP≠AQ，则△APQ一定不是等边三角形；当P在AC上，Q在BC上时，∠PAQ＜60°，则△APQ一定不是等边三角形；当P在BC上，Q在CD上时，若△APQ是等边三角形，则易证△ADQ≌△ACP，得出CP=DQ，根据这个相等关系，就可以得到一个关于x的方程，解方程即可求出x的值；
（4）求y与x之间的函数关系式，应根据0≤x≤4和4＜x≤8以及8＜x≤12三种情况进行讨论．把x当作已知数值，就可以求出y，即可得到函数的解析式．
【解析】
（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=8cm，
又∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形．
设点P，Q从出发到相遇所用的时间是x秒．
根据题意，得x+2x=24，
解得x=8秒．
即当x=8秒时，P和Q相遇；

（2）若△APQ是等腰直角三角形，则此时点P在AC上，点Q在BC上，如图．
∵△APQ是等腰直角三角形，∴∠APQ=90°，∴∠CPQ=90°．
∵AP=x，∴CP=AC-AP=8-x．
在△CPQ中，∵∠CPQ=90°，∠PCQ=60°，∴∠CQP=30°，
∴PQ=CP=（8-x）．
∵△APQ是等腰直角三角形，∠APQ=90°，∴AP=PQ，
即x=（8-x），
解得x=12-4．
故当x=（12-4）秒时，△APQ是等腰直角三角形；

（3）若△APQ是等边三角形，则此时点P在BC上，点Q在CD上，如图．
且△ADQ≌△ACP，则CP=DQ，
即x-8=24-2x，解得x=．
故当x=秒时，△APQ是等边三角形；

（4）分三种情况讨论：
①当0≤x≤4时，
y=S△AP1Q1=AP1×AQ1×sin60°=x•2x×=x2，
根据二次函数的性质，可知当x=4时，y有最大值×16=8；
②当4＜x≤8时，
y=S△AP2Q2=AP2×CQ2sin60°
=x（16-2x）×=-x2+4x，
根据二次函数的性质，可知当4＜x≤8时，y无最大值；
③当8＜x≤12时，设P3Q3与AC交于点O．
过Q3作Q3E∥CB，则△CQ3E为等边三角形．
∴Q3E=CE=CQ3=2x-16．
∵Q3E∥CB，
∴△COP3∽△EOQ3，
∴OC：OE=CP3：EQ3=（x-8）：（2x-16）=1：2，
∴OC=CE=（2x-16）．
∴y=S△AOP3=S△ACP3-S△COP3=CP3×ACsin60°-OC×CP3sin60°
=（x-8）×8×-×（2x-16）（x-8）×=-x2+x-，
根据二次函数的性质，可知当x=12时，y有最大值-×122+×12-=．
综上可知，当x=4时，y有最大值×16=8．
故答案为8，（12-4），．