Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（-8，0），直线BC经过点B（-8，6），C（0，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度（0＜α≤180°）得到四边形OA′B′C′，此时直线OA′、直线B′C′分别与直线BC相交于P、Q．
（1）四边形OABC的形状是______，当α=90°时，的值是______；
（2）①如图1，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在y轴正半轴上时，求PQ的长；
②如图2，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在直线BC上时，求PQ的长．
（3）小明在旋转中发现，当点P位于点B的右侧时，总存在线段PQ与线段______相等；同时存在着特殊情况BP=BQ，此时点P的坐标是______．

Answer

（1）根据有一个角是直角的平行四边形即可得出四边形OA′B′C′是矩形，当α=90°时，可知=，根据比例的性质得出=；
（2）①由△COP∽△A'OB'，根据相似三角形对应边成比例得出CP=，同理由△B'CQ∽△B'C'O，得出CQ=3，则PQ可求；
②先利用AAS证明△OCP≌△B'A'P，得出OP=B'P，即OP=PQ，然后在Rt△OCP中，运用勾股定理即可求出PQ的长；
（3）当点P位于点B的右侧时，过点Q画QH⊥OA′于H，连接OQ，则QH=OC′=OC，根据S△POQ=S△POQ，即可证明出PQ=OP；
设BP=x，在Rt△PCO中，运用勾股定理，得出x=，进而求得点P的坐标．
【解析】
（1）∵O为坐标原点，点A的坐标为（-8，0），直线BC经过点B（-8，6），C（0，6），
∴OA=BC=8，OC=AB=6，∠AOA′=90°，
∴四边形OABC的形状是矩形；
当α=90°时，P与C重合，如右图，
根据题意，得==，
则=；

（2）①如图1，∵∠POC=∠B'OA'，∠PCO=∠OA'B'=90°，
∴△COP∽△A'OB'，
∴，即，
∴CP=． 
同理△B'CQ∽△B'C'O，
，即，
∴CQ=3，
PQ=CP+CQ=；

②如图2，∵在△OCP和△B'A'P中，
，
∴△OCP≌△B'A'P（AAS），
∴OP=B'P，即OP=PQ，
设PQ=x．
在Rt△OCP中，（8-x）2+62=x2，
解得x=．
故所求PQ的长为；

（3）当点P位于点B的右侧时，总存在线段PQ与线段OP相等；同时存在着特殊情况BP=BQ，此时点P的坐标是P（-，6）．理由如下：
如备用图，过点Q画QH⊥OA′于H，连接OQ，则QH=OC′=OC，
∵S△POQ=PQ•OC，S△POQ=OP•QH，
∴PQ=OP．
设BP=x，
∵BP=BQ，
∴BQ=2x，
∵点P在点B右侧，
∴OP=PQ=BQ-BP=x，PC=8-x．
在Rt△PCO中，（8-x）2+62=x2，
解得x=．
∴PC=BC-BP=8-=，
∴P（-，6）．
故答案为：矩形，；OP，P（-，6）．