Question

已知，如图，二次函数y=ax²+2ax-3a（a≠0）图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线l：对称．
（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；
（2）求二次函数解析式；
（3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值．

Answer

（1）求出方程ax2+2ax-3a=0（a≠0），即可得到A点坐标和B点坐标；把A的坐标代入直线l即可判断A是否在直线上；
（2）根据点H、B关于过A点的直线l：对称，得出AH=AB=4，过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，求出AC和HC的长，得出顶点H的坐标，代入二次函数解析式，求出a，即可得到二次函数解析式；
（3）解方程组，即可求出K的坐标，根据点H、B关于直线AK对称，得出HN+MN的最小值是MB，过点K作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，得到BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，由勾股定理得QB=8，即可得出答案．
【解析】
（1）依题意，得ax2+2ax-3a=0（a≠0），
两边都除以a得：
即x2+2x-3=0，
解得x1=-3，x2=1，
∵B点在A点右侧，
∴A点坐标为（-3，0），B点坐标为（1，0），
答：A、B两点坐标分别是（-3，0），（1，0）．

证明：∵直线l：，
当x=-3时，，
∴点A在直线l上．

（2）∵点H、B关于过A点的直线l：对称，
∴AH=AB=4，
过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，
则，，
∴顶点，
代入二次函数解析式，解得，
∴二次函数解析式为，
答：二次函数解析式为．

（3）直线AH的解析式为，
直线BK的解析式为，
由，
解得，
即，
则BK=4，
∵点H、B关于直线AK对称，K（3，2），
∴HN+MN的最小值是MB，，
过K作KD⊥x轴于D，作点K关于直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，，
则QM=MK，，AE⊥QK，
∴根据两点之间线段最短得出BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，
∵BK∥AH，
∴∠BKQ=∠HEQ=90°，
由勾股定理得QB===8，
∴HN+NM+MK的最小值为8，
答：HN+NM+MK和的最小值是8．