Question

如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点B坐标为（3，0）顶点P的坐标为（1，-4），以AB为直径作圆，圆心为D，过P向右侧作⊙D的切线，切点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）请通过计算判断抛物线是否经过点C；
（3）设M，N 分别为x轴，y轴上的两个动点，当四边形PNMC的周长最小时，请直接写出M，N两点的坐标．

Answer

（1）可设顶点式，将顶点为A（1，-4），点B（3，0）代入求出抛物线的解析式；
（2）首先求出D点坐标，再利用CD等于圆O半径为AB=2，由cos∠PDC==，得出C点坐标即可，进而判断抛物线是否经过点C即可；
（3）作C关于x轴对称点C′，P关于y轴对称点P′，连接P′C′，与x轴，y轴交于M、N点，此时四边形PNMC周长最小，求出直线P′C′的解析式，求出图象与坐标轴交点坐标即可．
【解析】
（1）设抛物线的解析式为y=a（x-h）2+k把h=1，k=-4，代入得；
y=a（x-1）2-4，
把x=3，y=0代入y=a（x-1）2-4，
解得a=1，
∴抛物线的解析式为：y=（x-1）2-4，
即：y=x2-2x-3；

（2）作抛物线的对称轴，
把y=0代入y=x2-2x-3解得 x1=-1，x2=3，
∴A 点坐标为（-1，0），
∴AB=|3-（-1）|=4，
∴OD=2-1=1，
∴D点坐标为（1，0），
而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴点D在直线x=1上，
过点C作CE⊥PD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，连接DC，
∵PC是⊙D的切线，
∴PC⊥DC，
在Rt△PCD中
∵cos∠PDC==，∴∠PDC=60°，
解直角三角形CDE，可得DE=1，CE=，
∴C点坐标为（+1，-1），
把x=代入y=x2-2x-3得：y=-1，
∴点C在抛物线上；

（3）如图2，作点C关于x轴的对称点C′，点P关于y轴的对称点P′，连接P′C′，分别交x轴，y轴于M，N两点，
此时四边形PNMC的周长最小，
∵C点坐标为（+1，-1），
∴C′点坐标为（+1，1），
∵P的坐标为（1，-4），
∴P′的坐标为（-1，-4），
代入y=kx+b中，
，
解得：，
则直线P′C′的解析式为：y=（-5+10）x-5+6，
当x=0，y=-5+6，
故N点坐标为：（0，-5+6），
当y=0，则0=（-5+10）x-5+6，
解得：x=，
故M点坐标为：（，0）．