Question

如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=CD=2AD，E、F分别是BC、CD边的中点，连接BF、DE交于点P，连接CP并延长交AB于点Q，连接AF，则下列结论：①CP平分∠BCD；②四边形ABED为平行四边形；③CQ将直角梯形ABCD分为面积相等的两部分；④△ABF为等腰三角形，其中不正确的有（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．0个

Answer

由BC=CD=2AD，且E、F分别为BC、DC的中点，利用中点定义及等量代换得到FC=EC，再由一对公共角相等，利用SAS得到△BCF≌△DCE，利用全等三角形的对应角相等得到∠FBC=∠EDC，再由BE=DF及对顶角相等，利用AAS得到的△BPE≌△DPF，利用全等三角形的对应角相等得到BP=DP，再由CP为公共边，BC=DC，利用SSS得到△BPC≌△DPC，根据全等三角形的对应角相等得到∠BCP=∠DCP，即CP为∠BCD平分线，故选项①正确；由AD=BE且AB∥BE，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到ABED为平行四边形，故选项②正确；由△BPC≌△DPC，得到两三角形面积相等，而△BPQ与四边形ADPQ的面积不相等，可得出CQ不能将直角梯形ABCD分为面积相等的两部分，故选项③不正确；由全等得到BF=ED，利用平行四边形的对边相等得到AB=ED，等量代换可得AB=BF，即三角形ABF为等腰三角形，故选项④正确．
【解析】
∵BC=CD=2AD，E、F分别是BC、CD边的中点，
∴CF=CE，BE=DF，
在△BCF和△DCE中，
∵，
∴△BCF≌△DCE（SAS），
∴∠FBC=∠EDC，BF=ED，
在△BPE和△DPF中，
∵，
∴△BPE≌△DPF（AAS），
∴BP=DP，
在△BPC和△DPC中，
∵，
∴△BPC≌△DPC（SSS），
∴∠BCP=∠DCP，即CP平分∠BCD，
故选项①正确；
又∵AD=BE且AD∥BE，
∴四边形ABED为平行四边形，
故选项②正确；
显然S△BPC=S△DPC，但是S△BPQ≠S四边形ADPQ，
∴S△BPC+S△BPQ≠S△DPC+S四边形ADPQ，
即CQ不能将直角梯形ABCD分为面积相等的两部分，
故选项③不正确；
∵BF=ED，AB=ED，
∴AB=BF，即△ABF为等腰三角形，
故④正确；
综上，不正确的选项为③，其个数有1个．
故选A．