Question

为了保护环境，某化工厂一期工程完成后购买了3台甲型和2台乙型污水处理设备，共花费资金54万元，且每台乙型设备的价格是每台甲型设备价格的75%，实际运行中发现，每台甲型设备每月能处理污水200吨，每台乙型设备每月能处理污水160吨，且每年用于每台甲型设备的各种维护费和电费为1万元，每年用于每台乙型设备的各种维护费和电费为1.5万元．今年该厂二期工程即将完成，产生的污水将大大增加，于是该厂决定再购买甲、乙两型设备共8台用于二期工程的污水处理，预算本次购买资金不超过84万元，预计二期工程完成后每月将产生不少于1300吨污水．
（1）请你计算每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是多少元？
（2）请你求出用于二期工程的污水处理设备的所有购买方案；
（3）若两种设备的使用年限都为10年，请你说明在（2）的所有方案中，哪种购买方案的总费用最少？（总费用=设备购买费+各种维护费和电费）

Answer

（1）由题中提炼出的1个等量关系，购买了3台甲型和2台乙型污水处理设备，共花费资金54万元，且每台乙型设备的价格是每台甲型设备价格的75%，即可列方程求出；
（2）根据题意列出不等方程组，再解出未知量的取值范围；
（3）首先根据已知得出W与x的函数关系，再利用一次函数的增减性进行分析的得出答案即可．
【解析】
（1）设一台甲型设备的价格为x万元，由题：
3x+2×75%x=54，
解得x=12，
∵12×75%=9，
∴一台甲型设备的价格为12万元，一台乙型设备的价格是9万元；

（2）设二期工程中，购买甲型设备a台，由题意有：

解得：≤a≤4，
由题意a为正整数，∴a=1，2，3，4，
∴所有购买方案有四种，分别为：
方案一：甲型1台，乙型7台；  方案二：甲型2台，乙型6台；
方案三：甲型3台，乙型5台；  方案四：甲型4台，乙型4台；

（3）设二期工程10年用于治理污水的总费用为W万元
W=12a+9（8-a）+1×10a+1.5×10（8-a），
化简得：W=-2a+192，
∵W随a的增大而减少，
∴当a=4时，W最小（逐一验算也可）
∴按方案四甲型购买4台，乙型购买4台的总费用最少．