Question

圆O半径为2，圆O内的点P到圆心O的距离为1，过点P的弦AB与劣弧AB组成一个弓形．此弓形面积的最小值为    ．

Answer

当过P的弦与OP垂直时，圆心到弦的距离最大，根据勾股定理及垂径定理得到弦长最短，即此时弓形的面积最小，由OP与AB垂直得到三角形APO为直角三角形，根据直角边OP等于斜边OA的一半，得到∠OAP=30°，同理可得出∠OBP=30°，利用三角形内角和定理求出∠AOB的度数，同时由OA及OP的长，利用勾股定理求出AP的长，再由OP垂直于AB，根据垂径定理得到AB=2AP，进而求出AB的长，然后由扇形AOB的面积减去三角形AOB的面积，即可求出弓形AB的面积，即为所求弓形面积的最小值．
【解析】
根据题意画出相应的图形，如图所示：

由图形得到弦AB⊥OP时，弓形AB面积最小，
∵AB⊥OP，
∴∠APO=90°，
∵在直角三角形AOP中，OA=2，OP=1，
∴∠OAP=30°，AP==，
又∵OP⊥AB，
∴AB=2AP=2，
同理∠OBP=30°，
∴∠AOB=120°，
则S弓形AB=S扇形AOB-S△AOB=-×2×1=-．
故答案为：-