Question

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°．翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点F、E，若AD=2，BC=8，
求：（1）梯形ABCD的面积；
（2）BE的长；
（3）∠CDE的正切值．

Answer

（1）由轴对称的性质可以得出△BFE≌△DFE，从而得出DE=BE，由∠DBC=45°可以得出∠BED=90°，过A作AG⊥BC于G，可以求出BG=3，可以求出BE的值．
（2）由DE=BE，可以求出梯形的高DE，根据梯形的面积公式可以求出其面积．
（3）由∠CDE的正切值=DE：CE，由（1）、（2）的结论可以求出其值．
【解析】
（1）（2）∵EF是点B、D的对称轴，
∴△BFE≌△DFE，
∴DE=BE．
∵在△BDE中，DE=BE，∠DBE=45°，
∴∠BDE=∠DBE=45°．
∴∠DEB=90°，
∴DE⊥BC．
在等腰梯形ABCD中，AD=2，BC=8，
过A作AG⊥BC于G，
∵四边形AGED是矩形．
∴AD=GE=2，AG=DE．
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB=CD，
∵∠AGB=∠DEC=90°
Rt△ABG和Rt△DCE中，
，
∴Rt△ABG≌Rt△DCE（HL），
∴BG=EC=3．
∴BE=5
∴梯形的面积为：（2+8）×5=25

（3）由（2）得，DE=BE=5．
在△DEC中，∠DEC=90°，DE=5，EC=3，
所以tan∠CDE==．