Question

已知二次函数y=2x²-（m+1）x+m-1．
（1）求证：无论m为何值，函数y的图象与x轴总有交点．并指出当m为何值时，函数y的图象与x轴只有一个交点？
（2）当m为何值时，函数y的图象过原点？并求出此时图象与x轴的另一交点的坐标；
（3）如果函数y的图象的顶点在第四象限，求m的取值范围．

Answer

（1）根据△=b2-4ac的符号求出无论m为何值，函数y的图象与x轴总有交点，进而得出m=3时，函数y的图象与x轴只有一个交点；  
（2）当函数图象过原点时，m2-1=0，即可求出m的值，进而可求出抛物线的解析式，然后根据抛物线的解析式即可得出二次函数与x轴的另一交点的坐标；
（3）先用配方法求出二次函数的顶点坐标，然后让纵坐标大于0，纵坐标小于0即可求出m的取值范围．
【解析】
（1）
△=b2-4ac，
=[-（m+1）]2-4×2×（m-1），
=（m-3）2≥0，
故无论m为何值，函数y的图象与x轴总有交点，
当m=3时，（m-3）2=0，
即△=0，故函数y的图象与x轴只有一个交点；  

（2）当图象过原点即图象过（0，0）点；故0=m-1，
解得：m=1，
当m=1时，函数y的图象过原点，
故此函数解析式为；y=2x2-2x=2x（x-1），
当y=0，0=2x（x-1），
解得：x=0或1，
则图象与x轴的另一交点的坐标为（1，0）；

（3）∵y=2x2-（m+1）x+m-1，
=2（x2-x）+m-1，
=2[（x-）2-（）2]+m-1，
=2（x-）2-，
∴图象的顶点坐标为：（，-），
∵函数y的图象的顶点在第四象限，
∴，
解得；m＞-1且m≠3，
故m的取值范围为m＞-1且m≠3．