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如图,梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=8,CD=6,BC=4...

如图,梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=8,CD=6,BC=4,AB边上有一动点P(不与A、B重合),连接DP,作PQ⊥DP,使得PQ交射线BC于点E,设AP=x.
(1)当x为何值时,△APD是等腰三角形;
(2)若设BE=y,求y关于x的函数关系式;
(3)若BC的长可以变化,是否存在点P,使得PQ经过点C?若不存在,请说明理由,若存在并直接写出当BC的长在什么范围内时,可以存在这样的点P,使得PQ经过点C.
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1、过D点作DH⊥AB于H,则四边形DHBC为矩形,在Rt△AHD中,由勾股定理可求得DH、AD、PH的值,若△ADP为等腰三角形,则分三种情况:①当AP=AD时,x=AP=AD,②当AD=PD时,有AH=PH,故x=AH+PH,③当AP=PD时,则在Rt△DPH中,由勾股定理可求得DP的值,有x=AP=DP. 2、易证:△DPH∽△PEB⇒,即,故可求得y与x的关系式. 3、利用△DPH∽△PEB,得出=,进而利用根的判别式和一元二次不等式解集得出即可. 【解析】 (1)过D点作DH⊥AB于H,则四边形DHBC为矩形, ∴DH=BC=4,HB=CD=6. ∴AH=2,AD=2. ∵AP=x, ∴PH=x-2, 情况①:当AP=AD时,即x=2. 情况②:当AD=PD时,则AH=PH. ∴2=x-2,解得x=4. 情况③:当AP=PD时, 则Rt△DPH中,x2=42+(x-2)2,解得x=5. ∵2<x<8, ∴当x为2、4、5时,△APD是等腰三角形. (2)∵∠DPE=∠DHP=90°, ∴∠DPH+∠EPB=∠DPH+∠HDP=90°. ∴∠HDP=∠EPB. 又∵∠DHP=∠B=90°, ∴△DPH∽△PEB. ∴, ∴. 整理得:y=(x-2)(8-x)=-x2+x-4. (3)存在. 设BC=a,则由(2)得△DPH∽△PEB, ∴=, ∴y=, 当y=a时, (8-x)(x-2)=a2 x2-10x+(16+a2)=0, ∴△=100-4(16+a2), ∵△≥0, ∴100-64-4a2≥0, 4a2≤36, 又∵a>0, ∴a≤3, ∴0<a≤3, ∴满足0<BC≤3时,存在点P,使得PQ经过C.
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考点分析:
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定义:只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形,连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径.
(1)如图1,损矩形ABCD,∠ABC=∠ADC=90°,则该损矩形的直径是线段______
(2)在线段AC上确定一点P,使损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上(即损矩形的四个顶点在同一个圆上),请作出这个圆,并说明你的理由.友情提醒:“尺规作图”不要求写作法,但要保留作图痕迹.
(3)如图2,△ABC中,∠ABC=90°,以AC为一边向形外作菱形ACEF,D为菱形ACEF的中心,连接BD,当BD平分∠ABC时,判断四边形ACEF为何种特殊的四边形?请说明理由.若此时AB=3,BD=manfen5.com 满分网,求BC的长.
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如图,抛物线y=-x2+2x+3与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C,顶点为D.
(1)直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴;
(2)连接BC,与抛物线的对称轴交于点E,点P为线段BC上的一个动点,过点P作PF∥DE交抛物线于点F,设点P的横坐标为m;
①用含m的代数式表示线段PF的长,并求出当m为何值时,四边形PEDF为平行四边形?
②设△BCF的面积为S,求S与m的函数关系式.

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据悉,上海市发改委拟于今年4月27日举行居民用水价格调整听证会,届时将有两个方案提供听证.如图1,射线OA、射线OB分别表示现行的、方案一的每户每月的用水费y(元)与每户每月的用水量x(立方米)之间的函数关系,已知方案一的用水价比现行的用水价每立方米多0.96元;方案二如图2表格所示,每月的每立方米用水价格由该月的用水量决定,且第一、二、三级的用水价格之比为1:1.5:2(精确到0.01元).
(1)写出现行的用水价是每立方米多少元?
(2)求图1中m的值和射线OB所对应的函数解析式,并写出定义域;
(3)若小明家某月的用水量是a立方米,请分别写出三种情况下(现行的、方案一和方案二)该月的水费b(用a的代数式表示);
(4)小明家最近10个月来的每月用水量的频数分布直方图如图3所示,估计小明会赞同采用哪个方案请说明理由.
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如图,AB是⊙O的直径,弦BC=2cm,∠ABC=60度.
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(1)求⊙O的直径;
(2)若D是AB延长线上一点,连接CD,当BD长为多少时,CD与⊙O相切;
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有两个可以自由转动的均匀转盘A、B,都被分成了3等份,并在每份内均标有数字,如图所示,规则如下:
①分别转动转盘A、B.
②两个转盘停止后,将两个指针所指份内的数字相乘(若指针停在等分线上,那么重转一次,直到指针指向某一份为止).
(1)用列表法(或树状图)分别求出数字之积为3的倍数和为5的倍数的概率;
(2)小亮和小芸想用这两个转盘做游戏,他们规定:数字之积为3的倍数时,小亮得2分;数字之积为5的倍数时,小芸得3分.这个游戏对双方公平吗?请说明理由;认为不公平的,试修改得分规定,使游戏双方公平.

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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